Главная → ЕГЭ по математике → Отбор корней

Отбор корней в задании 13: три способа и требования к каждому

Пункт б задания 13 — отбор корней уравнения на отрезке. Критерии ФИПИ допускают любой корректный способ: числовую окружность, двойные неравенства, график. Эксперт оценивает обоснованность, поэтому у каждого способа есть формальные требования. Ниже — как выполнить каждый так, чтобы отбор засчитали.

Способ 1. Числовая окружность

Самый быстрый и самый рискованный способ: почти все потери на нем связаны с рисунком. Чтобы отбор приняли, на окружности должны быть:

отмечены и подписаны начало и конец числового отрезка;
выделена рассматриваемая дуга — штриховкой, жирной линией, любым однозначным способом;
отмечены и подписаны корни, принадлежащие этой дуге;
по желанию — вспомогательные точки на дуге (это разрешено).

Так выглядит отбор, который эксперт принимает без вопросов: дуга выделена, концы и корни подписаны. Оценка: 2 балла. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Типичные причины «отбор не засчитан» из экспертной практики:

дуга ничем не выделена — рисунок превращается в набор точек без привязки к отрезку;
на выделенной дуге обозначен корень, отрезку не принадлежащий;
корень с рисунка переписан в ответ с ошибкой;
концы отрезка на рисунке отсутствуют.

Каждый из этих промахов при верном пункте а стоит один балл: эксперт оценивает работу в 1 вместо 2. Сам ответ при этом может быть верным — рисунок обязан доказывать, откуда он взялся.

Способ 2. Двойные неравенства

Надежный способ без рисунков: вся нагрузка ложится на арифметику с дробями. Алгоритм по каждой серии корней отдельно:

Записать двойное неравенство: левый конец отрезка ≤ серия ≤ правый конец.
Изолировать параметр серии (k, n, m).
Найти все целые значения параметра в получившемся промежутке.
Подставить каждое значение и выписать корни.

Разобранный пример

Серия x = π/6 + 2πn, отрезок [2π; 7π/2].

2π ≤ π/6 + 2πn ≤ 7π/2

2π − π/6 ≤ 2πn ≤ 7π/2 − π/6, то есть 11π/6 ≤ 2πn ≤ 10π/3

11/12 ≤ n ≤ 5/3

Единственное целое значение: n = 1. Корень: x = π/6 + 2π = 13π/6. Такая запись — по каждой серии — и есть обоснованный отбор.

Полный отбор двойными неравенствами по трем сериям в работе на 2 балла. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Главный источник потерь в этом способе — сложение и деление дробей. По статистике экспертных примеров именно арифметическая ошибка в двойном неравенстве чаще всего превращает 2 балла в 1. Считайте дроби через общий знаменатель и проверяйте прикидкой в десятичных.

Способ 3. Перебор и график

Перебор значений параметра допустим, но с жестким условием: он должен быть доведен до конца по каждой серии. В экспертных материалах есть показательный случай: выпускник останавливал перебор, как только находил корень внутри отрезка. Отбор признан необоснованным, оценка — 1 балл: следующие значения параметра могли дать еще корни. Правило простое: перебирайте, пока серия гарантированно не выйдет за границы отрезка, и фиксируйте это в записи.

Тот самый случай: перебор остановлен на первом подходящем корне, отбор признан необоснованным. Оценка: 1 балл. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Отбор по графику встречается редко; требования те же — из записи должно быть однозначно видно, какие корни попали в отрезок и почему.

Практические приемы

Перед отбором оцените длину отрезка в периодах: отрезок длиной 3π содержит полтора оборота, значит у серии с периодом 2π будет один или два корня.
Отдельно проверьте концы отрезка: квадратные скобки означают, что концы включаются, и корень на конце отрезка входит в ответ.
После отбора сверьте ответ пункта б с рисунком или с выписанными значениями: расхождение между дугой и ответом эксперты трактуют против работы.

Полная инструкция по оформлению обоих пунктов — в основной статье кластера. Проверить себя можно на тренажере оценки.

Готовитесь ко второй части профильной математики?

В центре разбираем задания 13–19 с оформлением по критериям: решаем, проверяем работы как эксперты и закрываем слабые места до экзамена. Первый шаг — диагностика уровня.

Записаться на диагностику Telegram центра

Материалы по заданию 13:

Материал носит информационно-справочный характер и юридической или образовательной программой не является. Критерии, принципы оценивания и иллюстрации-фрагменты работ приведены по открытым методическим материалам ФИПИ для экспертов предметных комиссий (ЕГЭ-2025) в справочно-учебных целях; актуальные документы публикуются на сайте fipi.ru. Дата обновления: 11.07.2026.