Главная → ЕГЭ по математике → Оформление задания 13

Как оформлять задание 13 ЕГЭ по профильной математике

Задание 13 открывает вторую часть профильного ЕГЭ: тригонометрическое, показательное или логарифмическое уравнение с отбором корней на отрезке. Оно стоит 2 первичных балла, и проверяют его эксперты по критериям ФИПИ. Каждый год выпускники теряют здесь баллы при верно решенном уравнении: подводит оформление отбора корней. Разбираем, за что ставят 2, 1 и 0 баллов и как записать решение так, чтобы к нему было невозможно придраться.

Главное правило. В задании два пункта: а) решить уравнение, б) отобрать корни на отрезке. Критерии прямо указывают: если в работе нет ответа на вопрос пункта а, все задание оценивается в 0 баллов — даже при верно найденных корнях в пункте б. Полное решение уравнения обязательно.

Критерии оценивания

Балл	За что выставляется
2	В обоих пунктах верные ответы, каждый шаг обоснован.
1	Обоснованно получен верный ответ в пункте а. Либо ответы неверные из-за вычислительной ошибки, но последовательность шагов обоих пунктов полностью верная.
0	Решение под предыдущие описания не подходит: ошибка по существу в пункте а, отсутствие ответа на пункт а, необоснованный отбор при неверном пункте а и так далее.

Обратите внимание на асимметрию: верный пункт а сам по себе дает 1 балл, верный пункт б сам по себе не дает ничего. Сначала добиваемся безупречного решения уравнения, затем боремся за отбор.

Что значит «обоснованно»

Каждая строка следует из предыдущей: преобразования видны, ничего не появляется «из воздуха».
Замена введена явно: «пусть t = 9^{cos x}», и после решения выполнен возврат к переменной x.
Посторонние значения отброшены с пояснением. Если при возврате к замене получилось sin x = 4, нужно написать, что решений нет, поскольку |sin x| ≤ 1. Для логарифмов — учтена область определения.
Отбор корней подтвержден: либо корректным рисунком окружности, либо решенными неравенствами, либо графиком.
Ответ выписан явно, со словом «Ответ», отдельно для пунктов а и б.

Пункт а: решение уравнения

Стандартная структура записи:

Исходное уравнение переписано в работе.
Цепочка преобразований до простейших уравнений: разложение на множители, замена, формулы приведения.
Серии корней с указанием множества: x = π/2 + πk, k ∈ ℤ. Для разных серий можно брать разные буквы (k, n, m) или одну — эксперты ошибкой это не считают.
Ответ пункта а: все серии перечислены.

Дублирующая запись корней (одна и та же серия записана двумя способами) ошибкой не считается. А вот потерянная серия или лишняя серия — это неверное решение уравнения и 0 баллов за все задание.

Пункт б: отбор корней

Критерии допускают любой корректный способ: числовая окружность, двойные неравенства, график. Способ выбираете сами, эксперт оценивает обоснованность. Подробный разбор каждого способа — в статье про отбор корней, здесь — требования к самому частому, окружности.

Чтобы отбор на числовой окружности был засчитан, на рисунке должны быть:

отмечены и подписаны начало и конец числового отрезка;
выделена дуга, соответствующая отрезку (штриховкой, жирной линией);
отмечены и подписаны корни, принадлежащие дуге;
вспомогательные точки на дуге допустимы, лишние «корни» — нет.

Правильно и неправильно: пары из экспертной практики

Засчитывается. Отрезок [3π/2; 3π]: концы подписаны, дуга выделена штриховкой, на дуге отмечены и подписаны корни 3π/2, 7π/4, 5π/2. Ответ пункта б совпадает с точками на дуге. Оценка: 2 балла.

Образцовый отбор: дуга отрезка [3π/2; 3π] выделена, концы и корни подписаны. Оценка эксперта: 2 балла. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Отклоняется. Окружность нарисована, точки-корни стоят, но дуга ничем не выделена, концы отрезка не подписаны. Эксперт такой отбор принять не вправе, даже если ответ верный. Оценка: 1 балл — только за пункт а.

Точки на окружности есть, дуга не выделена — отбор не принят. Оценка эксперта: 1 балл. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Засчитывается. По каждой серии составлено двойное неравенство, найдены все целые значения параметра, корни вычислены и выписаны. Оценка: 2 балла.

Отбор двойными неравенствами по трем сериям, доведенный до целых значений. Оценка эксперта: 2 балла. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Отклоняется. Неравенства составлены верно, но при работе с дробями допущена арифметическая ошибка — в ответ попал лишний корень. Верный пункт а сохраняет 1 балл.

Ошибка при поиске целого k из неравенства −17/8 ≤ k ≤ −11/8: взято k = −3. Оценка эксперта: 1 балл. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Засчитывается. Перебор целых значений доведен до конца отрезка по каждой серии: проверены все кандидаты, в том числе за границами отрезка.

Отклоняется. Перебор остановлен на первом корне, попавшем в отрезок. Эксперт считает отбор необоснованным: часть корней могла быть потеряна. Оценка: 1 балл.

Перебор значений остановлен на первом корне, попавшем в отрезок. Оценка эксперта: 1 балл. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Засчитывается. На выделенной дуге отмечены только корни, принадлежащие отрезку; вспомогательные точки подписаны отдельно.

Развернутая работа на 2 балла: полное решение пункта а и корректная окружность. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Отклоняется. На выделенной дуге обозначен корень, отрезку не принадлежащий, или в ответ переписан корень с ошибкой. Оценка: 1 балл.

На отмеченной дуге обозначен корень, отрезку не принадлежащий. Оценка эксперта: 1 балл. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Отдельно про пункт а. Ошибка в формуле приведения, неверные серии у простейшего уравнения, ошибка в области определения логарифма — все это ошибки по существу. Любая из них обнуляет задание целиком, каким бы аккуратным ни был отбор. Где проходит граница с вычислительной ошибкой — в статье «Вычислительная ошибка: 1 балл или 0».

Потерянный знак в формуле приведения во второй строке: пункт а не выполнен. Оценка эксперта: 0 баллов. Фрагмент работы из методических материалов ФИПИ для экспертов ЕГЭ.

Порядок самопроверки перед сдачей бланка

Перед тем как переписать решение в чистовик, прогоните его по чек-листу самопроверки: 19 пунктов по обоим способам отбора. А чтобы почувствовать логику экспертов, пройдите тренажер: семь реальных сценариев, где балл выставляете вы.

Готовитесь ко второй части профильной математики?

В центре разбираем задания 13–19 с оформлением по критериям: решаем, проверяем работы как эксперты и закрываем слабые места до экзамена. Первый шаг — диагностика уровня.

Записаться на диагностику Telegram центра

Материалы по заданию 13:

Материал носит информационно-справочный характер и юридической или образовательной программой не является. Критерии, принципы оценивания и иллюстрации-фрагменты работ приведены по открытым методическим материалам ФИПИ для экспертов предметных комиссий (ЕГЭ-2025) в справочно-учебных целях; актуальные документы публикуются на сайте fipi.ru. Дата обновления: 11.07.2026.