Хоро
Уточним задачу
Спросим о классе, предмете и цели. Если есть решённая работа, пригодятся ваши ответы.
Утверждённая демоверсия ФИПИ · 2027
Разбор демоверсии ЕГЭ 2027
Профильная математика
Все примеры, включая варианты после «ИЛИ». Объясняем ход решения, проверяем ответ и показываем, где легко ошибиться. Нужный номер и пример можно открыть сразу.
Что разобрано на этой странице
Все 50 примеров в 19 номерах утверждённой демоверсии ФИПИ: в №1–12 — по три примера, в №13–19 — по два. Разобраны и основные условия, и все варианты после «ИЛИ». В этой демоверсии №16 — кредит, №17 — планиметрия.
Условия ниже кратко пересказаны. Оригинальные тексты, рисунки и формулировки сверяйте с приложенной страницей ФИПИ. Решения и пояснения подготовлены редакцией Хорошиста; это не публикация от имени ФИПИ.
Сначала попробуйте решить номер сами. Затем сравните не только ответ, но и ход рассуждений. Совпадение ответа без обоснования не означает полный балл за развёрнутое решение.
Внутри номера выберите «Пример 2» или «Пример 3»: откроется соответствующий разбор. Нумерация примеров следует порядку в PDF. Эти примеры показывают формат задания; на реальном экзамене будут другие условия.
1
Задание 1 · 3 примера
Планиметрия
Пример 1. Описанный четырёхугольник
В четырёхугольник ABCD вписана окружность. Периметр равен 22, сторона AB равна 8. Требуется найти CD.
Как решить
- Вспомним свойство касательных: два отрезка касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Разбейте каждую сторону на два отрезка точкой касания.
- В сумме AB + CD каждый из четырёх отрезков касательных при вершинах встречается один раз. В сумме BC + AD — те же четыре длины. Поэтому AB + CD = BC + AD.
- Периметр равен сумме этих двух одинаковых величин: 22 = 2(AB + CD). Следовательно, AB + CD = 11.
- Вычитаем известную сторону: CD = 11 − 8 = 3.
Ответ / ориентир
3
Проверка и обоснование
AB + CD = 8 + 3 = 11, а сумма другой пары сторон также равна 11. Периметр получается 22.
Где легко ошибиться. Равенство сумм противоположных сторон используется потому, что окружность вписана в четырёхугольник. Для произвольного четырёхугольника оно неверно.
Пример 2 · ИЛИСредняя линия треугольника и площадь трапеции
Задание 1, пример 2
Площадь треугольника ABC равна 60. Точки D и E — середины AC и BC, поэтому DE — средняя линия, параллельная AB. Найдите площадь трапеции ABED.
Как решить
- Средняя линия соединяет середины двух сторон. Поэтому CD/CA = CE/CB = DE/AB = 1/2, и треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом 1/2.
- Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия. Значит, S(CDE)/S(ABC) = (1/2)² = 1/4.
- Площадь маленького треугольника CDE равна 60/4 = 15.
- Трапеция ABED занимает оставшуюся часть большого треугольника: S(ABED) = 60 − 15 = 45.
Ответ / ориентир
45
Проверка и обоснование
Маленький треугольник занимает четверть исходной площади, трапеция — три четверти: 60 · 3/4 = 45. Сумма 15 + 45 = 60.
Где легко ошибиться. Стороны маленького треугольника вдвое меньше, но площадь — вчетверо. Если разделить площадь на 2 вместо 4, получится неверный ответ.
Пример 3 · ИЛИБиссектриса и сумма углов треугольника
Задание 1, пример 3
В треугольнике ABC угол C равен 54°. Биссектриса AD пересекает сторону BC в точке D, угол BAD равен 23°. Найдите угол ADB в градусах.
Как решить
- AD — биссектриса, поэтому ∠CAD = ∠BAD = 23°. Полный угол A равен 23° + 23° = 46°.
- По сумме углов треугольника ABC находим ∠ABC = 180° − 46° − 54° = 80°.
- Точка D лежит на BC, поэтому лучи BD и BC совпадают, а ∠ABD = ∠ABC = 80°.
- В треугольнике ABD остаётся ∠ADB = 180° − 23° − 80° = 77°.
Ответ / ориентир
77
Проверка и обоснование
Другой путь: в треугольнике ACD угол ADC = 180° − 23° − 54° = 103°. Углы ADC и ADB смежные, поэтому ADB = 180° − 103° = 77°.
Где легко ошибиться. 23° — половина угла A, а не весь угол. Углы ADB и ADC относятся к разным треугольникам и в сумме дают 180°.
2
Задание 2 · 3 примера
Векторы
Пример 1. Скалярное произведение векторов
По клетчатому рисунку нужно найти скалярное произведение векторов a и b. На рисунке a направлен из точки (1; 2) в точку (5; 8), b — из (5; 5) в (11; 3).
Как решить
- Координаты вектора — это координаты конца минус координаты начала. Для a получаем a = (5 − 1; 8 − 2) = (4; 6).
- Вектор b направлен вправо и вниз: b = (11 − 5; 3 − 5) = (6; −2). Минус у второй координаты важен.
- Для векторов (aₓ; aᵧ) и (bₓ; bᵧ) скалярное произведение равно aₓbₓ + aᵧbᵧ.
- Подставляем координаты: a · b = 4 · 6 + 6 · (−2) = 24 − 12 = 12.
Ответ / ориентир
12
Проверка и обоснование
По рисунку перемещения составляют 4 клетки вправо и 6 вверх для a, 6 вправо и 2 вниз для b. Подстановка этих перемещений даёт 12.
Где легко ошибиться. Нужны координаты перемещения, а не координаты точки на конце стрелки. Для направленного вниз вектора вертикальная координата отрицательная.
Пример 2 · ИЛИДлина суммы векторов
Задание 2, пример 2
Даны векторы a = (2; 2) и b = (2; −2). Найдите длину вектора 7a + b.
Как решить
- Умножение вектора на число выполняется покоординатно: 7a = (14; 14).
- Складываем соответствующие координаты: 7a + b = (14 + 2; 14 − 2) = (16; 12).
- Длина вектора (u; v) равна √(u² + v²). Поэтому |7a + b| = √(16² + 12²).
- Вычисляем: √(256 + 144) = √400 = 20.
Ответ / ориентир
20
Проверка и обоснование
Векторы a и b перпендикулярны, поскольку a · b = 2 · 2 + 2 · (−2) = 0. Поэтому |7a + b|² = 49|a|² + |b|² = 49 · 8 + 8 = 400.
Где легко ошибиться. Длины векторов нельзя просто сложить: |7a + b| обычно не равно 7|a| + |b|. Сначала находят координаты результирующего вектора.
Пример 3 · ИЛИСкалярное произведение по координатам
Задание 2, пример 3
Даны векторы a = (5; 3) и b = (4; −6). Найдите скалярное произведение a · b.
Как решить
- В координатной форме скалярное произведение равно aₓbₓ + aᵧbᵧ.
- Перемножаем первые координаты: 5 · 4 = 20. Перемножаем вторые с учётом знака: 3 · (−6) = −18.
- Складываем полученные числа: a · b = 20 − 18 = 2.
Ответ / ориентир
2
Проверка и обоснование
|a + b|² = |(9; −3)|² = 90, |a|² = 34, |b|² = 52. По формуле 2(a · b) = |a + b|² − |a|² − |b|² = 90 − 34 − 52 = 4, значит, a · b = 2.
Где легко ошибиться. Вторая координата b отрицательна. Не берите её модуль: иначе получится 20 + 18 вместо 20 − 18.
3
Задание 3 · 3 примера
Стереометрия
Пример 1. Боковая поверхность призмы
Плоскость проходит через среднюю линию основания треугольной призмы и параллельна боковым рёбрам. Она отсекает меньшую треугольную призму с площадью боковой поверхности 18. Нужно найти площадь боковой поверхности исходной призмы.
Как решить
- Средняя линия отсекает от треугольника основания треугольник, все стороны которого вдвое меньше соответствующих сторон исходного основания.
- Плоскость сечения параллельна боковым рёбрам, поэтому боковые рёбра меньшей призмы имеют ту же длину и то же направление, что у исходной призмы.
- Каждая боковая грань — параллелограмм. При уменьшении одного его вектора вдвое и сохранении другого площадь уменьшается вдвое. Поэтому каждая из трёх соответствующих боковых граней меньшей призмы имеет половину исходной площади.
- Площадь всей боковой поверхности тоже уменьшилась вдвое: 18 = S / 2. Значит, S = 36.
Ответ / ориентир
36
Проверка и обоснование
Если у исходной призмы боковые грани имеют площади S₁, S₂, S₃, у отсечённой они равны S₁/2, S₂/2, S₃/2. Их сумма действительно составляет половину исходной.
Где легко ошибиться. Площадь основания уменьшается в четыре раза, но спрашивают боковую поверхность. Боковые рёбра не уменьшались.
Пример 2 · ИЛИОбъём треугольной пирамиды в параллелепипеде
Задание 3, пример 2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ даны AB = 9, BC = 6, AA₁ = 5. Найдите объём многогранника с вершинами A, B, C, B₁.
Как решить
- Четыре указанные вершины образуют треугольную пирамиду B₁ABC. Её основание можно взять в плоскости нижней грани параллелепипеда: это треугольник ABC.
- У прямоугольного параллелепипеда соседние рёбра AB и BC перпендикулярны. Поэтому S(ABC) = AB · BC / 2 = 9 · 6 / 2 = 27.
- Высота пирамиды из B₁ — ребро B₁B: оно перпендикулярно плоскости основания и равно AA₁ = 5.
- Объём пирамиды V = S(ABC) · B₁B / 3 = 27 · 5 / 3 = 45.
Ответ / ориентир
45
Проверка и обоснование
Объём всего параллелепипеда 9 · 6 · 5 = 270. Основание пирамиды составляет половину нижней грани, а коэффициент 1/3 в формуле объёма даёт долю 1/6: 270/6 = 45.
Где легко ошибиться. Многогранник с четырьмя указанными вершинами — пирамида, а не призма. В формуле объёма нужен множитель 1/3.
Пример 3 · ИЛИШар, вписанный в цилиндр
Задание 3, пример 3
Цилиндр объёмом 18 описан около шара: шар касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра. Найдите объём шара.
Как решить
- Пусть радиус шара равен r. Касание боковой поверхности означает, что радиус основания цилиндра тоже r. Касание обоих оснований означает, что высота цилиндра равна диаметру шара, то есть 2r.
- Объём цилиндра Vц = πr² · 2r = 2πr³.
- Объём шара Vш = 4πr³/3. Отношение объёмов Vш/Vц = (4πr³/3)/(2πr³) = 2/3.
- Радиус отдельно находить не нужно: Vш = 18 · 2/3 = 12.
Ответ / ориентир
12
Проверка и обоснование
Объём вписанного шара меньше объёма цилиндра: 12 < 18. Отношение 2/3 не зависит от радиуса, поскольку в обеих формулах присутствует один и тот же множитель πr³.
Где легко ошибиться. Высота описанного цилиндра равна 2r, а не r. Без этого условия отношение объёмов получится неверным.
4
Задание 4 · 3 примера
Вероятность
Пример 1. Классическая вероятность
Из 80 билетов по химии 56 содержат вопрос по теме «Углеводороды». Какова вероятность случайно вытянуть билет без вопроса по этой теме?
Как решить
- Всего 80 равновозможных исходов — по одному на каждый билет.
- Билетов без указанной темы 80 − 56 = 24. Это и есть благоприятные исходы для события, которое требуется в условии.
- Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу: P = 24 / 80 = 3 / 10 = 0,3.
Ответ / ориентир
0,3
Проверка и обоснование
Вероятность билета с темой равна 56/80 = 0,7. Дополнительное событие имеет вероятность 1 − 0,7 = 0,3.
Где легко ошибиться. В условии спрашивают билет без вопроса по теме. Дробь 56/80 отвечает на противоположный вопрос.
Пример 2 · ИЛИРазность вероятностей вложенных событий
Задание 4, пример 2
Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94, а меньше 15 пассажиров — 0,56. Найдите вероятность числа пассажиров от 15 до 19 включительно.
Как решить
- Обозначим число пассажиров через N. Событие N < 20 распадается на два несовместных случая: N < 15 и 15 ≤ N ≤ 19.
- Граница 19 появляется потому, что количество пассажиров — целое число: N < 20 означает N ≤ 19.
- Вероятности несовместных событий складываются: 0,94 = 0,56 + P(15 ≤ N ≤ 19).
- Вычитаем: P(15 ≤ N ≤ 19) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
Ответ / ориентир
0,38
Проверка и обоснование
Вероятность 0,38 не превосходит 0,94. Вместе с вероятностью 0,56 для меньшего числа пассажиров она восстанавливает 0,94.
Где легко ошибиться. Число 15 включено в искомый промежуток, а 20 — нет. Здесь требуется разность вероятностей, а не произведение.
Пример 3 · ИЛИВероятность при случайном порядке выступлений
Задание 4, пример 3
В соревновании участвуют 14 спортсменов из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11 из Уругвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что первым выступит спортсмен из Бразилии?
Как решить
- Всего участников 14 + 10 + 15 + 11 = 50. При случайной жеребьёвке каждый из них имеет одинаковую вероятность оказаться первым.
- Благоприятны 10 исходов — первым может оказаться любой из 10 бразильских спортсменов.
- Вероятность равна доле благоприятных исходов: P = 10/50 = 1/5 = 0,2.
Ответ / ориентир
0,2
Проверка и обоснование
Число спортсменов из остальных стран равно 40, поэтому вероятность первого участника не из Бразилии — 40/50 = 0,8. Дополнение даёт 1 − 0,8 = 0,2.
Где легко ошибиться. Равновероятны участники, а не страны. Ответ 1/4 был бы верен только при одинаковом количестве спортсменов из каждой страны.
5
Задание 5 · 3 примера
Сложная вероятность
Пример 1. Независимые события
Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9. Выстрелы независимы. Нужно найти вероятность двух попаданий в первых двух выстрелах и двух промахов в последних двух.
Как решить
- Вероятность промаха равна 1 − 0,9 = 0,1.
- Нужна строго определённая последовательность: попадание, попадание, промах, промах.
- Для независимых выстрелов вероятность такой последовательности равна произведению вероятностей: 0,9 · 0,9 · 0,1 · 0,1.
- Вычисляем: 0,81 · 0,01 = 0,0081.
Ответ / ориентир
0,0081
Проверка и обоснование
0,0081 — это 0,81%. Результат меньше вероятности любых двух попаданий за четыре выстрела, поскольку порядок здесь фиксирован.
Где легко ошибиться. Не нужно умножать на число сочетаний: условие уже определило, какие именно выстрелы должны быть удачными.
Пример 2 · ИЛИКонтроль качества и полная вероятность
Задание 5, пример 2
Батарейка неисправна с вероятностью 0,2. Контроль бракует неисправную батарейку с вероятностью 0,95, а исправную ошибочно бракует с вероятностью 0,05. Найдите вероятность, что случайно выбранную изготовленную батарейку забракуют.
Как решить
- Батарейка может оказаться неисправной с вероятностью 0,2 или исправной с вероятностью 1 − 0,2 = 0,8. Эти случаи несовместны и охватывают все батарейки.
- Вероятность первой цепочки «неисправна и забракована» равна 0,2 · 0,95 = 0,19. Здесь 0,95 — вероятность браковки при условии неисправности.
- Вероятность второй цепочки «исправна, но ошибочно забракована» равна 0,8 · 0,05 = 0,04.
- Обе цепочки заканчиваются браковкой и не могут произойти одновременно для одной батарейки. Складываем: P(бракована) = 0,19 + 0,04 = 0,23.
Ответ / ориентир
0,23
Проверка и обоснование
Условная модель на 1000 батареек: 200 неисправных, из них забракуют в среднем 190; 800 исправных, из них — 40. Всего 230 из 1000, то есть 0,23. Это иллюстрация вероятностей, а не требование точного состава каждой партии.
Где легко ошибиться. Забракованная батарейка не обязательно неисправна: по условию возможна ошибочная браковка. Учитывайте обе ветви, а не только 0,2 · 0,95.
Пример 3 · ИЛИВероятность попадания массы в интервал
Задание 5, пример 3
Вероятность того, что масса свежей буханки меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность массы больше 790 г равна 0,82. Найдите вероятность массы строго больше 790 г и строго меньше 810 г.
Как решить
- Обозначим массу через X. За пределами искомого интервала находятся два случая: X ≤ 790 и X ≥ 810.
- По дополнению P(X ≤ 790) = 1 − P(X > 790) = 1 − 0,82 = 0,18.
- Аналогично P(X ≥ 810) = 1 − P(X < 810) = 1 − 0,96 = 0,04.
- Эти два случая несовместны: масса не может одновременно быть не больше 790 и не меньше 810. Поэтому вероятность оказаться вне интервала равна 0,18 + 0,04 = 0,22.
- Вероятность искомого события равна 1 − 0,22 = 0,78. Строгие границы учтены: значения ровно 790 и ровно 810 относятся к дополнению.
Ответ / ориентир
0,78
Проверка и обоснование
События X < 810 и X > 790 вместе покрывают все возможные значения X. По формуле для объединения P(790 < X < 810) = 0,96 + 0,82 − 1 = 0,78.
Где легко ошибиться. Нельзя перемножать 0,96 и 0,82: это события об одной массе, их независимость не дана. В этом решении не требуется предполагать, что вероятность точного граничного веса равна нулю.
6
Задание 6 · 3 примера
Уравнения
Пример 1. Показательное уравнение
Решите уравнение 4^(x − 4) = 64.
Как решить
- Представим правую часть как степень с тем же основанием: 64 = 4³.
- Функция 4ᵗ строго возрастает, поэтому одинаковым значениям степеней соответствуют одинаковые показатели: x − 4 = 3.
- Прибавляем 4 к обеим частям и получаем x = 7.
Ответ / ориентир
7
Проверка и обоснование
При x = 7 левая часть равна 4^(7 − 4) = 4³ = 64.
Где легко ошибиться. В показателе стоит всё выражение x − 4. Ответ 3 — это значение показателя, а не значение x.
Пример 2 · ИЛИУравнение с квадратным корнем
Задание 6, пример 2
Найдите корень уравнения √(99 − 7x) = 6.
Как решить
- Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 99 − 7x ≥ 0, то есть x ≤ 99/7.
- Правая часть равна положительному числу 6, поэтому возведение обеих частей в квадрат на области определения равносильно: 99 − 7x = 36.
- Получаем −7x = 36 − 99 = −63 и x = 9.
- Корень удовлетворяет ограничению и исходному уравнению: √(99 − 7 · 9) = √36 = 6.
Ответ / ориентир
9
Проверка и обоснование
Подстановка x = 9 даёт ровно 6 в левой части; подкоренное выражение 36 положительно.
Где легко ошибиться. Знак квадратного корня охватывает всё выражение 99 − 7x. Нельзя заменить √(99 − 7x) разностью √99 − √(7x).
Пример 3 · ИЛИЛогарифмическое уравнение
Задание 6, пример 3
Найдите корень уравнения log₈(5x + 47) = 3.
Как решить
- Аргумент логарифма должен быть положителен: 5x + 47 > 0, то есть x > −47/5.
- По определению логарифма равенство log₈(5x + 47) = 3 означает, что 5x + 47 = 8³.
- Вычисляем 8³ = 512. Тогда 5x = 512 − 47 = 465, откуда x = 93.
- Для найденного x аргумент равен 512 > 0, а log₈512 = 3.
Ответ / ориентир
93
Проверка и обоснование
5 · 93 + 47 = 465 + 47 = 512 = 8³, поэтому исходное равенство выполнено.
Где легко ошибиться. Логарифм равен показателю степени: из log₈u = 3 следует u = 8³, а не u = 8 · 3.
7
Задание 7 · 3 примера
Вычисления и преобразования
Пример 1. Тригонометрические преобразования
Вычислите 3 sin 164° / (sin 82° · sin 8°).
Как решить
- Число 164° вдвое больше 82°, поэтому применяем формулу двойного угла: sin 164° = 2 sin 82° cos 82°.
- В числителе получается 6 sin 82° cos 82°.
- Углы 82° и 8° в сумме дают 90°, поэтому cos 82° = sin 8°.
- Дробь превращается в 6 sin 82° sin 8° / (sin 82° sin 8°). Оба множителя знаменателя ненулевые; сокращаем и получаем 6.
Ответ / ориентир
6
Проверка и обоснование
Углы заданы в градусах. Численная подстановка в этом режиме даёт 6 с погрешностью округления.
Где легко ошибиться. После применения формулы sin 2α = 2 sin α cos α не потеряйте множитель 2. Не заменяйте градусы радианами.
Пример 2 · ИЛИРазность логарифмов и отрицательная степень
Задание 7, пример 2
Найдите значение log₀,₆50 − log₀,₆18.
Как решить
- Аргументы положительны, основание 0,6 положительно и не равно 1, поэтому можно применить свойство разности: log₀,₆50 − log₀,₆18 = log₀,₆(50/18).
- Сокращаем дробь: 50/18 = 25/9. Основание 0,6 = 3/5.
- Замечаем, что 25/9 = (5/3)² = (3/5)^(−2). Значит, число под логарифмом — основание в степени −2.
- По тождеству logₐ(aᵗ) = t получаем ответ −2.
Ответ / ориентир
−2
Проверка и обоснование
(0,6)^(−2) = 1/0,36 = 25/9. При основании между 0 и 1 логарифм числа больше 1 отрицателен — знак ответа согласован.
Где легко ошибиться. logₐu − logₐv = logₐ(u/v), а не logₐ(u − v). Здесь особенно легко потерять минус в показателе −2.
Пример 3 · ИЛИСтепени с иррациональными показателями
Задание 7, пример 3
Найдите значение 25^(2√8 + 3) · 5^(−3 − 4√8).
Как решить
- Приводим степени к одному основанию: 25 = 5². Поэтому 25^(2√8 + 3) = (5²)^(2√8 + 3).
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: (5²)^(2√8 + 3) = 5^(4√8 + 6). Основание положительно, поэтому преобразование верно и для иррациональных показателей.
- При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 5^(4√8 + 6) · 5^(−3 − 4√8) = 5^(4√8 + 6 − 3 − 4√8).
- Иррациональные слагаемые сокращаются. Остаётся 5³ = 125.
Ответ / ориентир
125
Проверка и обоснование
Суммарный показатель при основании 5 точно равен 2(2√8 + 3) − 3 − 4√8 = 3; приближать √8 не нужно.
Где легко ошибиться. После замены 25 на 5² нужно умножить на 2 весь показатель 2√8 + 3, включая слагаемое 3.
8
Задание 8 · 3 примера
Производная и графики
Пример 1. Минимумы по графику производной
На рисунке дан график производной f′(x) функции, определённой на (−10; 7). Нужно найти количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−2; 6].
Как решить
- По графику производной определяем, где исходная функция возрастает и убывает: при f′(x) > 0 функция возрастает, при f′(x) < 0 убывает.
- Точка минимума исходной функции возникает при смене знака производной с минуса на плюс. Переход с плюса на минус соответствует максимуму.
- Внутри указанного промежутка на рисунке видны три пересечения с осью Ox. В левом пересечении знак меняется с плюса на минус, в среднем — с минуса на плюс, в правом — снова с плюса на минус.
- Только среднее пересечение даёт минимум f. Следующее пересечение со сменой минуса на плюс находится правее 6 и в заданный промежуток не входит. Ответ — одна точка.
Ответ / ориентир
1
Проверка и обоснование
Нужно посчитать переходы графика f′ из нижней полуплоскости в верхнюю на отрезке [−2; 6]. На рисунке такой переход один; сами концы отрезка не являются точками минимума f.
Где легко ошибиться. Минимумы самого нарисованного графика f′ не являются ответом. Проверяется поведение f, а значит, важна смена знака производной.
Пример 2 · ИЛИОтрицательная производная по графику функции
Задание 8, пример 2
На исходном рисунке изображена сама функция y = f(x), а на оси Ox отмечены x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. Найдите количество отмеченных точек, в которых f′(x) < 0. Точный график приведён ниже.
Как решить
- Отрицательная производная означает, что при движении слева направо график в этой точке идёт вниз. Смотрим на наклон кривой, а не на то, выше или ниже оси Ox она расположена.
- В точках x₁ и x₂ график поднимается, поэтому производная положительна. В x₃ график спускается после левого максимума, а в x₄ продолжает спуск к следующему минимуму: обе эти точки подходят.
- В x₅ и x₆ кривая идёт вверх, поэтому они не подходят. В x₇ кривая спускается от высокого максимума к ближайшей впадине — производная отрицательна.
- В x₈ график снова поднимается, поэтому производная положительна. Подходят ровно x₃, x₄ и x₇ — всего 3 точки.
Ответ / ориентир
3
Проверка и обоснование
Знаки производной по порядку отмеченных точек: +, +, −, −, +, +, −, +. Отрицательных знаков три. Точки x₄ и x₁ могут лежать ниже оси, но знак самой функции не определяет знак производной.
Где легко ошибиться. В первом примере №8 был график производной, здесь дан график функции. Нельзя автоматически повторять прежний способ и считать переходы через ось Ox.
Пример 3 · ИЛИПроизводная как угловой коэффициент касательной
Задание 8, пример 3
На рисунке дан график f и касательная в точке с абсциссой x₀. На касательной отмечены точки (−1; 3) и (4; 2). Найдите f′(x₀).
Как решить
- Производная f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной в этой точке. Для нахождения коэффициента достаточно двух точек на прямой; они не обязаны быть точками самого графика f.
- Считываем выделенные точки касательной: P = (−1; 3), Q = (4; 2). При движении от P к Q аргумент увеличился на 4 − (−1) = 5.
- Ордината при этом уменьшилась на 2 − 3 = −1. Поэтому угловой коэффициент k = Δy/Δx = −1/5 = −0,2.
- Следовательно, f′(x₀) = −0,2. Точное значение x₀ для этого вычисления не требуется.
Ответ / ориентир
−0,2
Проверка и обоснование
Касательная задаётся уравнением y = −0,2x + 2,8. При x = −1 получаем 3, при x = 4 — 2; её наклон действительно отрицателен.
Где легко ошибиться. Используйте координаты точек на касательной, а не на кривой. Разность абсцисс равна 5, потому что первая абсцисса отрицательна.
9
Задание 9 · 3 примера
Прикладные задачи
Пример 1. Торможение и отбор корней
Автомобиль начинает торможение со скорости 15 м/с с замедлением 2 м/с². Путь во время торможения задаётся формулой S = v₀t − at²/2. Через какое время будет пройдено 36 м?
Как решить
- Подставляем v₀ = 15, a = 2 и S = 36: 36 = 15t − t².
- Переносим всё в одну часть: t² − 15t + 36 = 0. Разложение на множители: (t − 3)(t − 12) = 0.
- Алгебраически получаются t = 3 и t = 12. Но формула описывает движение автомобиля именно до остановки.
- Скорость во время торможения v = 15 − 2t. Она станет нулевой при t = 15/2 = 7,5 с. Значение 12 с лежит за пределами этого этапа движения и не подходит.
- Остаётся t = 3 с.
Ответ / ориентир
3
Проверка и обоснование
За 3 с путь равен 15 · 3 − 3² = 36 м, скорость ещё положительна: 15 − 2 · 3 = 9 м/с.
Где легко ошибиться. Два корня квадратного уравнения не означают два подходящих ответа. Нужно учитывать физический смысл времени торможения.
Пример 2 · ИЛИРазряд конденсатора и логарифмическая формула
Задание 9, пример 2
Даны C = 8 · 10⁻⁶ Ф, R = 5 · 10⁶ Ом, начальное напряжение U₀ = 56 кВ и α = 1,5. После выключения телевизора время разряда t связано с напряжением U формулой t = αRC · log₂(U₀/U). Найдите U в киловольтах через 180 секунд.
Как решить
- Сначала вычислим постоянный множитель: RC = (5 · 10⁶)(8 · 10⁻⁶) = 40, потому что 10⁶ · 10⁻⁶ = 1.
- Тогда αRC = 1,5 · 40 = 60. Подставляем t = 180 и U₀ = 56: 180 = 60 · log₂(56/U).
- Делим на 60: log₂(56/U) = 3. По определению логарифма 56/U = 2³ = 8.
- Отсюда U = 56/8 = 7 кВ. Переводить в вольты не нужно: в условии оба напряжения и ответ выражены в киловольтах.
Ответ / ориентир
7
Проверка и обоснование
При U = 7 получаем t = 1,5 · 40 · log₂8 = 60 · 3 = 180 с. Напряжение положительно и меньше начального 56 кВ.
Где легко ошибиться. В логарифме стоит отношение U₀/U, а не U/U₀. Степени 10⁶ и 10⁻⁶ взаимно сокращаются.
Пример 3 · ИЛИУскорение из формулы скорости
Задание 9, пример 3
Автомобиль разгоняется с постоянным ускорением a, выраженным в км/ч². Скорость определяется формулой v = √(2la), где путь l измеряется в километрах. Найдите a, если после 0,3 км скорость должна составить 120 км/ч.
Как решить
- Подставляем значения в формулу: 120 = √(2 · 0,3 · a) = √(0,6a).
- Обе части неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат: 120² = 0,6a.
- Вычисляем 120² = 14400 и делим: a = 14400/0,6 = 24000 км/ч².
- Единицы уже согласованы с формулой: километры и часы. Ответ нужен именно в км/ч², поэтому дополнительный перевод не требуется.
Ответ / ориентир
24000
Проверка и обоснование
√(2 · 0,3 · 24000) = √14400 = 120 км/ч.
Где легко ошибиться. Не забывайте возвести скорость в квадрат. Перевод только части величин в метры и секунды нарушит согласованность единиц.
10
Задание 10 · 3 примера
Текстовые задачи
Пример 1. Движение двух велосипедистов
Два велосипедиста проезжают 90 км. Скорость одного на 5 км/ч больше скорости другого, поэтому он прибывает на 3 часа раньше. Найдите скорость более быстрого велосипедиста.
Как решить
- Обозначим скорость более медленного велосипедиста через v > 0. Тогда скорость быстрого равна v + 5.
- Время движения равно расстоянию, делённому на скорость. Медленный едет 90/v часов, быстрый — 90/(v + 5) часов.
- Разность времён равна 3: 90/v − 90/(v + 5) = 3. Приводим к общему знаменателю: 450 / (v(v + 5)) = 3.
- Умножаем на положительный знаменатель: v(v + 5) = 150, то есть v² + 5v − 150 = 0. Получаем (v − 10)(v + 15) = 0.
- Корень −15 не подходит для скорости. Медленный едет со скоростью 10 км/ч, значит, искомая скорость быстрого равна 10 + 5 = 15 км/ч.
Ответ / ориентир
15
Проверка и обоснование
90/10 = 9 часов, 90/15 = 6 часов. Разность 3 часа, разность скоростей 5 км/ч.
Где легко ошибиться. Если переменной обозначили скорость медленного велосипедиста, нельзя сразу записывать найденное v в ответ: спрашивают скорость быстрого.
Пример 2 · ИЛИДва способа смешивания растворов
Задание 10, пример 2
Смешали 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты. После добавления 10 кг воды получилась концентрация 62%. Если вместо воды добавить 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, концентрация будет 72%. Найдите массу использованного 45%-ного раствора.
Как решить
- Пусть x кг — масса 45%-ного раствора, y кг — масса 97%-ного. В обоих опытах общая масса смеси одинаковая: M = x + y + 10.
- В первом опыте вода не добавляет кислоты, поэтому её масса равна 0,45x + 0,97y = 0,62M.
- Во втором опыте 10 кг 50%-ного раствора добавляют 5 кг кислоты. Поэтому 0,45x + 0,97y + 5 = 0,72M.
- Вычитаем первое равенство из второго: 5 = (0,72 − 0,62)M = 0,1M. Получаем M = 50 кг, а значит, x + y = 40 кг.
- Возвращаемся к первому опыту: 0,45x + 0,97y = 0,62 · 50 = 31. Подставляем y = 40 − x: 0,45x + 0,97(40 − x) = 31.
- Упрощаем: 0,45x + 38,8 − 0,97x = 31, то есть 0,52x = 7,8. Поэтому x = 15 кг. Тогда y = 25 кг.
Ответ / ориентир
15
Проверка и обоснование
В исходных растворах 0,45 · 15 + 0,97 · 25 = 6,75 + 24,25 = 31 кг кислоты. С водой 31/50 = 62%, со вторым раствором (31 + 5)/50 = 72%.
Где легко ошибиться. Во втором опыте 10 кг раствора заменяют 10 кг воды, а не добавляются сверх них. Общая масса обоих конечных растворов одинакова. Проценты смешивают с учётом масс, а не берут их простое среднее.
Пример 3 · ИЛИПроизводительность двух рабочих
Задание 10, пример 3
Заказ на 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее второго и изготавливает за час на 2 детали больше. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Как решить
- Обозначим производительность второго рабочего через v > 0 деталей в час. Первый изготавливает v + 2 деталей в час.
- Время выполнения заказа равно объёму работы, делённому на производительность. Второму нужно 112/v часов, первому — 112/(v + 2) часов.
- Второй тратит на 1 час больше: 112/v − 112/(v + 2) = 1. Приводим к общему знаменателю: 224/[v(v + 2)] = 1.
- Умножаем на положительный знаменатель: v(v + 2) = 224, или v² + 2v − 224 = 0.
- Разложение (v − 14)(v + 16) = 0 даёт корни 14 и −16. Отрицательная производительность не подходит. Искомая производительность второго рабочего — 14 деталей в час.
Ответ / ориентир
14
Проверка и обоснование
Второй выполняет заказ за 112/14 = 8 часов. Первый делает 16 деталей в час и завершает его за 112/16 = 7 часов. Разница — ровно 1 час.
Где легко ошибиться. Более производительный рабочий тратит меньше времени. Не перепутайте порядок вычитания и не запишите производительность первого вместо второго.
11
Задание 11 · 3 примера
Графики функций
Пример 1. Обратная пропорциональность
Дан график f(x) = k/x с отмеченной точкой (5; 1). Найдите f(10).
Как решить
- Отмеченная точка принадлежит графику, поэтому её координаты удовлетворяют формуле: 1 = k/5.
- Умножаем на 5 и находим коэффициент: k = 5. Следовательно, функция имеет вид f(x) = 5/x.
- Подставляем аргумент 10: f(10) = 5/10 = 0,5.
Ответ / ориентир
0,5
Проверка и обоснование
У обратной пропорциональности при увеличении аргумента с 5 до 10 вдвое значение уменьшается с 1 до 0,5 вдвое.
Где легко ошибиться. Сначала считайте координаты выделенной точки по единичной сетке. Не пытайтесь приблизительно считать f(10) по изгибу графика.
Пример 2 · ИЛИВторая точка пересечения параболы и прямой
Задание 11, пример 2
На рисунке графики f(x) = ax² + bx + c и g(x) = kx пересекаются в A и B. Видно, что парабола проходит через (0; 0), (1; 0), (2; 2), а прямая — через (0; 0) и (1; 5). A = (0; 0). Найдите абсциссу второй точки пересечения B.
Как решить
- У прямой g(x) = kx отмечена точка (1; 5). Поэтому 5 = k · 1 и g(x) = 5x.
- У параболы два нуля — 0 и 1. Следовательно, её формулу можно записать f(x) = ax(x − 1). Это тот же квадратный трёхчлен, записанный через корни.
- Используем отмеченную на параболе точку (2; 2): 2 = a · 2 · (2 − 1), откуда a = 1. Поэтому f(x) = x² − x.
- В точках пересечения ординаты одинаковые: x² − x = 5x. Переносим всё влево: x² − 6x = x(x − 6) = 0.
- Получаем x = 0 или x = 6. Первое значение соответствует уже известной точке A. Для второй точки B абсцисса равна 6; она не обязана помещаться в показанный фрагмент рисунка.
Ответ / ориентир
6
Проверка и обоснование
При x = 6 обе функции равны 30: 6² − 6 = 30 и 5 · 6 = 30. При x = 0 обе равны нулю, что соответствует A.
Где легко ошибиться. Точка (1; 5) лежит на прямой, а (2; 2) — на параболе. Не подставляйте координаты одной кривой в формулу другой и не отвечайте абсциссой известной точки A.
Пример 3 · ИЛИПоказательная функция по точке графика
Задание 11, пример 3
Изображён график f(x) = aˣ. На нём отмечена точка (−1; 4), также видна точка (0; 1). Найдите f(−3).
Как решить
- Подставляем координаты отмеченной точки в формулу: f(−1) = a⁻¹ = 4.
- Так как a⁻¹ = 1/a, получаем a = 1/4. Это согласуется с убывающим графиком: основание положительно и меньше 1.
- Теперь f(−3) = (1/4)⁻³. Отрицательный показатель означает переход к обратному основанию, поэтому (1/4)⁻³ = 4³ = 64.
- Можно обойтись и без отдельного вычисления a: a⁻³ = (a⁻¹)³ = 4³.
Ответ / ориентир
64
Проверка и обоснование
Полученная функция f(x) = (1/4)ˣ проходит через (−1;4) и (0;1). При уменьшении x на 1 значение каждый раз увеличивается в 4 раза: f(−1)=4, f(−2)=16, f(−3)=64.
Где легко ошибиться. Координата отмеченной точки по оси x равна −1, а не 1. Поэтому основание равно 1/4, а не 4.
12
Задание 12 · 3 примера
Экстремумы функций
Пример 1. Максимум логарифмической функции
Найдите точку максимума функции y = 9 ln(x − 4) − 9x − 7.
Как решить
- Аргумент логарифма должен быть положительным: x − 4 > 0, то есть область определения — x > 4.
- Находим производную: y′ = 9/(x − 4) − 9 = 9(5 − x)/(x − 4).
- В области определения знаменатель положителен. Поэтому знак производной определяется числителем 5 − x.
- На промежутке (4; 5) производная положительна, а на (5; +∞) отрицательна. В точке x = 5 функция переходит от возрастания к убыванию.
- Следовательно, точка максимума имеет абсциссу x = 5. Именно её нужно записать в ответ.
Ответ / ориентир
5
Проверка и обоснование
y′(5) = 9/1 − 9 = 0. Слева от 5 производная положительна, справа отрицательна. Значение функции в максимуме равно −52, но оно не является искомым ответом.
Где легко ошибиться. Не путайте точку максимума x = 5 с максимальным значением y = −52. Также нельзя рассматривать x ≤ 4.
Пример 2 · ИЛИМаксимум произведения многочлена и экспоненты
Задание 12, пример 2
Найдите точку максимума функции y = (x + 8)² · e^(3 − x).
Как решить
- Функция определена при всех действительных x. Дифференцируем произведение: y′ = 2(x + 8)e^(3 − x) + (x + 8)² · (−e^(3 − x)). Минус во втором слагаемом появляется из производной внутренней функции 3 − x.
- Выносим общие множители: y′ = e^(3 − x)(x + 8)[2 − (x + 8)] = −e^(3 − x)(x + 8)(x + 6).
- Экспонента всегда положительна и никогда не равна нулю. Поэтому критические точки определяются равенствами x + 8 = 0 и x + 6 = 0: это x = −8 и x = −6.
- При x < −8 оба линейных множителя отрицательны, их произведение положительно, а общий минус делает y′ отрицательной. Между −8 и −6 знаки множителей разные, поэтому y′ положительна. При x > −6 оба множителя положительны, поэтому y′ снова отрицательна.
- В x = −8 функция переходит от убывания к возрастанию — это минимум. В x = −6 она переходит от возрастания к убыванию — это искомая точка максимума.
- В ответ записываем абсциссу −6. Речь идёт о локальном максимуме, а не о наибольшем значении функции на всей числовой прямой.
Ответ / ориентир
−6
Проверка и обоснование
Производная в −6 равна нулю и меняет знак с плюса на минус. Дополнительно y″(−6) = −2e⁹ < 0. Значение функции здесь 4e⁹, но спрашивается x, а не y.
Где легко ошибиться. Нужно проверить обе критические точки: −8 оказывается минимумом. При дифференцировании e^(3 − x) нельзя потерять минус, а точку максимума нельзя путать со значением функции.
Пример 3 · ИЛИЛокальный максимум кубического многочлена
Задание 12, пример 3
Найдите точку максимума функции y = x³ + 27x² + 11.
Как решить
- Находим производную: y′ = 3x² + 54x = 3x(x + 18). Производная постоянного слагаемого 11 равна нулю.
- Решаем y′ = 0: x = −18 или x = 0. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка.
- При x < −18 оба множителя x и x + 18 отрицательны, поэтому производная положительна. На (−18; 0) знаки множителей разные, поэтому производная отрицательна. При x > 0 производная снова положительна.
- В точке −18 функция переходит от возрастания к убыванию, значит, это локальный максимум. В точке 0 переход обратный — там локальный минимум.
- В ответ записываем x = −18. У кубического многочлена нет наибольшего значения на всей прямой, но это не мешает существованию локального максимума.
Ответ / ориентир
−18
Проверка и обоснование
Вторая производная y″ = 6x + 54. При x = −18 она равна −54 < 0, что подтверждает максимум; при x = 0 равна 54 > 0, что подтверждает минимум.
Где легко ошибиться. Равенства y′ = 0 недостаточно для выбора ответа: требуется проверить смену знака производной. Не выбирайте 0 и не записывайте значение y(−18) = 2927 вместо абсциссы.
13
Задание 13 · 2 примера
Тригонометрические уравнения
Пример 1. Тригонометрическое уравнение и отбор корней
а) Решите cos 2x + √2 cos(x + π) + 1 = 0. б) Отберите корни на отрезке [−4π; −5π/2].
Как решить
- Применяем формулы cos 2x = 2 cos²x − 1 и cos(x + π) = −cos x. После подстановки −1 и +1 сокращаются, остаётся 2 cos²x − √2 cos x = 0.
- Выносим общий множитель: cos x · (2 cos x − √2) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
- Из cos x = 0 получаем x = π/2 + πk, k ∈ ℤ. Из cos x = √2/2 получаем x = ±π/4 + 2πn, n ∈ ℤ. Это полный ответ пункта а.
- Отбираем первую серию. Неравенство −4π ≤ π/2 + πk ≤ −5π/2 после деления на π даёт −4,5 ≤ k ≤ −3. Подходят k = −4 и k = −3, поэтому получаем −7π/2 и −5π/2.
- Для серии x = π/4 + 2πn получаем −17/8 ≤ n ≤ −11/8. Единственное целое n = −2 даёт x = −15π/4.
- Для серии x = −π/4 + 2πn получаем −15/8 ≤ n ≤ −9/8. Целых чисел на этом промежутке нет.
- В порядке возрастания корни на заданном отрезке: −15π/4, −7π/2, −5π/2. Правая граница включена, поскольку в условии дан отрезок.
Ответ / ориентир
а) x = π/2 + πk или x = ±π/4 + 2πn, k, n ∈ ℤ; б) −15π/4, −7π/2, −5π/2.
Проверка и обоснование
У корня −15π/4 косинус равен √2/2, у двух остальных — 0. Все три обнуляют произведение cos x(2 cos x − √2) и лежат в заданном отрезке.
Где легко ошибиться. Нельзя делить уравнение на cos x: так потеряется целая серия корней. При отборе отрицательных углов нужно учитывать и включённую правую границу.
Пример 2 · ИЛИТригонометрическое уравнение: раскрытие косинуса суммы и отбор корней
Задание 13, пример 2
а) Решите уравнение 4cos(x + π/4) + 2√2 cos(π − x) = 2. б) Найдите все его корни на отрезке [17π/2; 10π].
Как решить
- а) Раскрываем косинус суммы: cos(x + π/4) = cos x · √2/2 − sin x · √2/2. По формуле приведения cos(π − x) = −cos x.
- После подстановки получаем 2√2 cos x − 2√2 sin x − 2√2 cos x = 2. Слагаемые с cos x взаимно уничтожаются, поэтому −2√2 sin x = 2.
- Делим на ненулевое число −2√2: sin x = −√2/2. На единичной окружности это два положения: −π/4 и −3π/4, с повторением через 2π.
- Полное решение: x = −π/4 + 2πn или x = −3π/4 + 2πk, где n и k — любые целые числа. На cos x мы не делили, поэтому ни одна серия корней не потеряна.
- б) Для первой серии подставляем x = −π/4 + 2πn в границы отрезка: 17/2 ≤ −1/4 + 2n ≤ 10. Прибавляем 1/4 и делим на 2: 35/8 ≤ n ≤ 41/8. Единственное целое число — n = 5. Получаем x = 39π/4.
- Для второй серии аналогично: 17/2 ≤ −3/4 + 2k ≤ 10, откуда 37/8 ≤ k ≤ 43/8. Подходит только k = 5, поэтому x = 37π/4.
- Записываем найденные корни в порядке возрастания: 37π/4 и 39π/4. Границы отрезка равны 34π/4 и 40π/4, так что оба корня действительно находятся внутри него.
Ответ / ориентир
а) x = −π/4 + 2πn или x = −3π/4 + 2πk, n, k ∈ ℤ; б) 37π/4 и 39π/4.
Проверка и обоснование
После вычитания полных оборотов оба отобранных угла имеют синус −√2/2. Прямая подстановка в исходную левую часть даёт 2. Независимый перебор всех кратных π/4 на заданном отрезке выделяет только 37π/4 и 39π/4.
Где легко ошибиться. Формула cos(π − x) = −cos x содержит минус. При отборе корней нельзя ограничиться одним оборотом единичной окружности: здесь отрезок лежит далеко правее 2π.
14
Задание 14 · 2 примера
Стереометрия: доказательство и расчёт
Пример 1. Параллельность и объём пирамиды
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины SA и SD. а) Докажите BC ∥ MK. б) Найдите объём MABF, если AB = 12, а плоскости BMC и основания образуют угол 30°.
Как решить
- а) В треугольнике ASD отрезок MK соединяет середины двух сторон, поэтому MK ∥ AD. В правильном шестиугольнике диагональ AD параллельна BC. Следовательно, MK ∥ BC.
- б) Обозначим центр основания через O, а середину AO — через H. Четырёхугольник BAFO является параллелограммом, поэтому его диагонали AO и BF делятся точкой H пополам. В частности, H лежит на BF и BH = BF/2.
- В треугольнике SAO точки M и H — середины SA и AO. Поэтому MH ∥ SO. Пирамида правильная, значит, SO перпендикулярна основанию; следовательно, MH тоже перпендикулярна основанию и является высотой пирамиды MABF.
- В правильном шестиугольнике FC — диаметр описанной окружности. Угол FBC опирается на диаметр и равен 90°, то есть BF ⟂ BC. Кроме того, MH ⟂ BC. Эти две пересекающиеся прямые лежат в плоскости BMF, значит, BC ⟂ плоскости BMF и, в частности, BC ⟂ BM.
- Линия пересечения плоскостей BMC и основания — BC. Прямые BM и BH перпендикулярны BC в этих плоскостях, поэтому угол MBH равен данному углу между плоскостями: 30°.
- В равнобедренном треугольнике ABF стороны AB = AF = 12, а угол BAF равен внутреннему углу правильного шестиугольника, то есть 120°. По теореме косинусов BF² = 12² + 12² − 2 · 12² cos 120° = 432. Значит, BF = 12√3, BH = 6√3.
- Треугольник BHM прямоугольный при H. Из тангенса угла 30° получаем MH = BH · tan 30° = 6√3 / √3 = 6.
- Площадь основания нужной пирамиды: S(ABF) = ½ · 12 · 12 · sin 120° = 36√3. Объём V(MABF) = ⅓ · S(ABF) · MH = ⅓ · 36√3 · 6 = 72√3.
Ответ / ориентир
а) BC ∥ MK; б) 72√3.
Проверка и обоснование
Независимый координатный расчёт даёт высоту исходной пирамиды SO = 12, высоту M над основанием 6 и площадь ABF = 36√3. Объём получается 72√3.
Где легко ошибиться. Угол между плоскостями нужно заменить углом между прямыми, перпендикулярными их линии пересечения. Для объёма MABF используется высота из M, а не полная высота SO.
Пример 2 · ИЛИТетраэдр: отношение объёмов и угол между прямой и плоскостью
Задание 14, пример 2
В правильном тетраэдре ABCD каждое ребро равно 6. Точки M и K лежат на AB и AD соответственно, AM = AK = 4. а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр на многогранники с отношением объёмов 5:4. б) Найдите косинус угла между AC и плоскостью CMK.
Как решить
- а) Рассмотрим грань ABD. Поскольку AM/AB = AK/AD = 4/6 = 2/3, отрезок MK параллелен BD, а треугольники AMK и ABD подобны с коэффициентом 2/3.
- Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: S(AMK)/S(ABD) = 4/9. Поэтому оставшаяся трапеция BMKD занимает 5/9 площади грани ABD.
- Плоскость CMK отделяет треугольную пирамиду CAMK от четырёхугольной пирамиды CBMKD. У них общая вершина C, а основания лежат в одной плоскости ABD, поэтому их высоты равны. Отношение объёмов равно отношению площадей оснований: V(CBMKD):V(CAMK) = (5/9):(4/9) = 5:4.
- б) Обозначим середину BD через T, а пересечение AT и MK — через L. В равносторонних треугольниках ABD и CBD медианы AT и CT являются высотами: AT ⟂ BD и CT ⟂ BD. Эти прямые пересекаются в T, поэтому BD перпендикулярна плоскости ACT.
- Поскольку MK ∥ BD, прямая MK также перпендикулярна плоскости ACT. Она лежит в плоскости CMK, значит, плоскости ACT и CMK перпендикулярны. Их линия пересечения — CL. Прямая AC лежит в ACT; её ортогональная проекция на CMK лежит на CL. Поэтому искомый острый угол между AC и плоскостью равен углу ACL.
- В равносторонних гранях со стороной 6 получаем AT = CT = 6√3/2 = 3√3. Из подобия треугольников AML и ABT следует AL/AT = AM/AB = 2/3. Значит, AL = 2√3.
- В равнобедренном треугольнике ACT по теореме косинусов: cos ∠TAC = (AT² + AC² − CT²)/(2 · AT · AC) = AC/(2AT) = 6/(6√3) = √3/3. Точка L лежит на AT, поэтому ∠LAC = ∠TAC.
- Теперь применяем теорему косинусов к треугольнику ACL: CL² = AC² + AL² − 2 · AC · AL · cos ∠LAC = 36 + 12 − 2 · 6 · 2√3 · √3/3 = 24. Следовательно, CL = 2√6.
- Осталось найти угол при C: cos ∠ACL = (AC² + CL² − AL²)/(2 · AC · CL) = (36 + 24 − 12)/(2 · 6 · 2√6) = 48/(24√6) = √6/3. Значение положительно, поэтому взят именно острый угол между прямой и плоскостью.
Ответ / ориентир
а) V(CBMKD):V(CAMK) = 5:4; б) cos φ = √6/3.
Проверка и обоснование
Независимо использованы координаты A(0;0;0), B(6;0;0), D(3;3√3;0), C(3;√3;2√6), M(4;0;0), K(2;2√3;0). Определители объёмов дают долю CAMK, равную 4/9, и отношение оставшейся части к ней 5/4. Нормаль к CMK даёт sin² φ = 1/3, следовательно, cos φ = √6/3.
Где легко ошибиться. Отношение отрезков 2:3 нельзя непосредственно перенести на объёмы: сначала нужен квадрат коэффициента для площадей, а затем общая высота. Угол с плоскостью — угол с ортогональной проекцией, а не с произвольно выбранной прямой этой плоскости.
15
Задание 15 · 2 примера
Неравенства
Пример 1. Логарифмическое неравенство
Решите неравенство 2^(log₂(log₂x)) + (log₄x)² − 3 ≤ 0.
Как решить
- Сначала находим область допустимых значений. Для внешнего логарифма требуется log₂x > 0, поэтому x > 1. Это условие сильнее обычного x > 0.
- На этой области 2^(log₂(log₂x)) = log₂x. По формуле перехода к новому основанию log₄x = log₂x / 2.
- Вводим t = log₂x. Тогда t > 0, а неравенство становится t + t²/4 − 3 ≤ 0.
- Умножаем на положительное число 4: t² + 4t − 12 ≤ 0. Разлагаем: (t + 6)(t − 2) ≤ 0. Квадратный трёхчлен неположителен между корнями, то есть при −6 ≤ t ≤ 2.
- Пересекаем найденный промежуток с ограничением t > 0: получаем 0 < t ≤ 2.
- Возвращаемся к x. Логарифм по основанию 2 возрастает, поэтому 0 < log₂x ≤ 2 равносильно 1 < x ≤ 4.
Ответ / ориентир
(1; 4]
Проверка и обоснование
При x = 4 исходная левая часть равна 2 + 1 − 3 = 0, поэтому 4 включаем. При x = 1 внешний логарифм не определён, поэтому 1 исключаем.
Где легко ошибиться. После упрощения вложенного логарифма ограничение x > 1 не исчезает. Если забыть его, в ответ попадут недопустимые значения.
Пример 2 · ИЛИПоказательное неравенство: замена переменной, ОДЗ и изолированный корень
Задание 15, пример 2
Решите неравенство (2 · 8^(x−1))/(2 · 8^(x−1) − 1) ≥ 3/(8^x − 1) + 8/(64^x − 5 · 8^x + 4).
Как решить
- Заменим t = 8^x. Для любого действительного x значение t положительно; кроме того, 64^x = t², а 2 · 8^(x−1) = t/4.
- Проверяем знаменатели. Первый равен t/4 − 1, второй t − 1, третий t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4). Поэтому t ≠ 1 и t ≠ 4, то есть x ≠ 0 и x ≠ 2/3.
- Исходное неравенство преобразуется в t/(t − 4) ≥ 3/(t − 1) + 8/((t − 1)(t − 4)). Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю, не умножая на него: его знак пока неизвестен.
- Числитель общей дроби: t(t − 1) − 3(t − 4) − 8 = t² − t − 3t + 12 − 8 = t² − 4t + 4 = (t − 2)². Получаем (t − 2)²/((t − 1)(t − 4)) ≥ 0.
- Числитель положителен при t ≠ 2 и равен нулю при t = 2. Знаменатель положителен на промежутках (0;1) и (4;+∞), отрицателен на (1;4). Поэтому подходят оба промежутка с положительным знаменателем, а также отдельная точка t = 2, где дробь равна нулю.
- Значения t = 1 и t = 4 запрещены исходными знаменателями. Итак, t ∈ (0;1) ∪ {2} ∪ (4;+∞). Двойной нуль числителя не меняет знак дроби, но включается из-за нестрогого знака ≥.
- Возвращаемся к x. Функция 8^x строго возрастает: 8^x ∈ (0;1) соответствует x ∈ (−∞;0); 8^x = 2 даёт x = 1/3; 8^x > 4 даёт x > 2/3.
Ответ / ориентир
x ∈ (−∞;0) ∪ {1/3} ∪ (2/3;+∞).
Проверка и обоснование
При x = 1/3 имеем t = 2: левая часть исходного неравенства равна −1, правая 3 − 4 = −1. Точка включается. При t = 1 и t = 4 выражение не определено. Тождество разности и знак проверены точной рациональной арифметикой на 798 допустимых значениях t.
Где легко ошибиться. Нельзя сразу умножать на общий знаменатель без разбора его знака. И нельзя вычёркивать отдельный корень x = 1/3 только потому, что окружающий промежуток не подходит.
16
Задание 16 · 2 примера
Экономическая задача
Пример 1. Кредит с двумя этапами погашения
В июле 2027 года взят кредит 800 тыс. рублей на 10 лет. Каждый январь долг увеличивается на r%, затем с февраля по июнь вносится платёж. За первые пять лет июльский долг равномерно уменьшается до 200 тыс. рублей, за следующие пять — равномерно до нуля. Всего выплачено 1480 тыс. рублей. Найдите целое r.
Как решить
- Все суммы удобно считать в тысячах рублей. За первые пять лет основная сумма долга уменьшается на 800 − 200 = 600, поэтому ежегодное уменьшение июльского долга равно 600/5 = 120.
- За следующие пять лет оставшиеся 200 уменьшаются до нуля, поэтому ежегодное уменьшение на этом этапе равно 200/5 = 40.
- Долги перед ежегодным начислением процентов составляют: 800, 680, 560, 440, 320, 200, 160, 120, 80, 40. Последний ноль в список не включаем: после полного погашения проценты больше не начисляются.
- Каждый платёж состоит из уменьшения основного долга и процентов за год. Сумма всех уменьшений основного долга — первоначальные 800. Общая сумма процентов равна r/100, умноженному на сумму долгов перед начислением.
- Сумма первых пяти долгов: 800 + 680 + 560 + 440 + 320 = 2800. Сумма следующих пяти: 200 + 160 + 120 + 80 + 40 = 600. Всего 3400.
- Получаем уравнение 800 + 3400r/100 = 1480. Отсюда 34r = 680 и r = 20.
- При этой ставке платежи по годам равны 280, 256, 232, 208, 184, 80, 72, 64, 56, 48 тыс. рублей. Их сумма 1480, как и требуется.
Ответ / ориентир
20
Проверка и обоснование
Прямой пересчёт по годам с множителем 1,2 даёт указанные десять платежей и итог 1480 тыс. рублей. Последний долг после платежа равен нулю.
Где легко ошибиться. Равномерно уменьшается основной долг, а не размер платежа. Проценты начисляются на долг до очередного платежа, причём уменьшение долга меняется после первых пяти лет.
Пример 2 · ИЛИКредит: равномерное погашение долга и платежи за второй год
Задание 16, пример 2
15 декабря 2027 года берут A млн рублей на 24 месяца. В начале каждого месяца долг увеличивается на 3%, затем со 2-го по 14-е число вносится платёж. Долг на 15-е число уменьшается каждый месяц на одинаковую величину; к 15 декабря 2029 года он равен нулю. Все платежи именно за 2029 год составляют 17 925 тыс. рублей. Найдите A.
Как решить
- Переведём все суммы в миллионы рублей: 17 925 тыс. = 17,925 млн. Обозначим одинаковое ежемесячное уменьшение основного долга через q. За 24 месяца долг A должен стать нулевым, поэтому q = A/24.
- Первый платёж будет в январе 2028 года. К 15 декабря 2028 года пройдут ровно 12 платежей, поэтому перед началом 2029 года останется A − 12q = A/2 = 12q.
- В 2029 году перед начислением процентов остатки долга последовательно равны 12q, 11q, 10q, …, 2q, q. Последний платёж в декабре 2029 года погашает q. Нулевой остаток после погашения не включаем в базу для процентов.
- Каждый платёж состоит из q, уменьшающего основной долг, и 3% от долга до начисления. Поэтому за 2029 год основная часть платежей составляет 12q, а проценты — 0,03q · (12 + 11 + … + 1).
- Сумма чисел от 1 до 12 равна 12 · 13/2 = 78. Получаем общую сумму за второй год: 12q + 0,03 · 78q = 12q + 2,34q = 14,34q.
- Подставляем q = A/24 и данную сумму: 14,34 · A/24 = 17,925. Коэффициент 14,34/24 равен 0,5975, поэтому A = 17,925/0,5975 = 30.
- Проверим масштаб ответа: q = 30/24 = 1,25 млн рублей. Первый платёж 2029 года равен 1,25 + 0,03 · 15 = 1,7 млн, последний — 1,25 + 0,03 · 1,25 = 1,2875 млн. Эти 12 платежей образуют арифметическую прогрессию; их сумма (1,7 + 1,2875) · 12/2 = 17,925 млн.
Ответ / ориентир
A = 30, то есть кредит 30 млн рублей.
Проверка и обоснование
Независимый расчёт всех 24 месяцев с точными дробями: долг каждый месяц уменьшается на 1,25 млн, последние 12 платежей дают 17,925 млн, после 24-го платежа остаток равен нулю.
Где легко ошибиться. По условию дана сумма платежей только за 2029 год, а не за весь кредит. Равномерно уменьшается основной долг, но сами платежи уменьшаются: проценты каждый месяц начисляются на новый остаток.
17
Задание 17 · 2 примера
Планиметрия: доказательство и расчёт
Пример 1. Окружность и равнобедренный треугольник
Окружность с центром O касается боковых сторон AB, BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и высоты CH. а) Докажите ∠OAC = 45°. б) Найдите BC, если BO = 1 и AC = 6.
Как решить
- Окружность вписана в прямоугольный треугольник BHC: она касается его трёх сторон. Поэтому CO и HO — биссектрисы углов BCH и BHC соответственно. Так как исходный треугольник остроугольный, H находится на стороне AB.
- а) Обозначим равные углы при основании BAC и BCA через α. Тогда ∠ABC = 180° − 2α. В прямоугольном треугольнике BHC угол при C равен 90° − ∠HBC = 2α − 90°.
- Биссектриса CO делит этот угол пополам: ∠BCO = α − 45°. Следовательно, ∠ACO = ∠ACB − ∠BCO = α − (α − 45°) = 45°.
- Биссектриса HO делит прямой угол BHC на два угла по 45°. Лучи HA и HB противоположны, поэтому ∠AHO = 180° − 45° = 135°.
- Получили ∠AHO + ∠ACO = 135° + 45° = 180°. Это противоположные углы четырёхугольника AHOC, значит, его вершины лежат на одной окружности. Углы OAC и OHC опираются на одну хорду OC, поэтому ∠OAC = ∠OHC = 45°. Пункт а доказан.
- б) В том же вписанном четырёхугольнике противоположные углы AOC и AHC в сумме дают 180°. Поскольку ∠AHC = 90°, получаем ∠AOC = 90°.
- Пусть M — середина AC. В прямоугольном треугольнике AOC медиана OM, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: OM = AC/2 = 3.
- В равнобедренном треугольнике ABC медиана BM одновременно является высотой и биссектрисой. Центр O лежит на этой биссектрисе между B и M. Поэтому BM = BO + OM = 1 + 3 = 4.
- Треугольник BMC прямоугольный, MC = AC/2 = 3. По теореме Пифагора BC = √(BM² + MC²) = √(4² + 3²) = 5.
Ответ / ориентир
а) ∠OAC = 45°; б) BC = 5.
Проверка и обоснование
Координаты B = (0; 0), A = (4; 3), C = (4; −3), O = (1; 0) дают BO = 1, AC = 6, AB = BC = 5. Расстояния от O до AB, BC и CH равны 0,6; угол OAC равен 45°.
Где легко ошибиться. Нужно обосновать, почему четыре точки лежат на окружности, прежде чем использовать равенство вписанных углов. Для пункта б важно BM = BO + OM, а не разность этих отрезков.
Пример 2 · ИЛИДве касательные к окружности, средняя линия и подобие прямоугольных треугольников
Задание 17, пример 2
Окружность с центром O касается сторон угла ANB в точках A и B; BC — её диаметр. а) Докажите, что AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите NO, если AC = 10 и AB = 24.
Как решить
- а) Отрезки касательных из одной точки равны: NA = NB. Радиусы к точкам касания тоже равны, OA = OB, и перпендикулярны касательным. Прямоугольные треугольники NAO и NBO равны по гипотенузе NO и катету OA = OB, поэтому NO — биссектриса угла ANB.
- Треугольник ANB равнобедренный, и его биссектриса из вершины N одновременно является высотой и медианой к основанию AB. Следовательно, NO ⟂ AB.
- Угол BAC вписан в окружность и опирается на диаметр BC, поэтому ∠BAC = 90° и AC ⟂ AB. Две прямые AC и NO перпендикулярны одной прямой AB; значит, AC ∥ NO. Утверждение пункта а доказано.
- б) Пусть M = AB ∩ NO. Из предыдущего рассуждения M — середина AB, поэтому MB = AB/2 = 12. Точка O — середина диаметра BC.
- В треугольнике ABC отрезок MO соединяет середины сторон AB и BC, значит, является средней линией. Поэтому MO = AC/2 = 5.
- Треугольник BMO прямоугольный при M. По теореме Пифагора OB² = OM² + MB² = 5² + 12² = 169. Следовательно, радиус OB равен 13.
- Так как NB — касательная, OB ⟂ NB, и треугольник NBO прямоугольный при B. Треугольники OMB и OBN подобны: у них прямые углы при M и B соответственно и общий угол при O, поскольку M лежит на отрезке ON.
- В этом подобии катет OM первого треугольника соответствует OB второго, а гипотенуза OB первого — ON второго. Поэтому OM/OB = OB/ON. Отсюда ON = OB²/OM = 169/5 = 33,8.
Ответ / ориентир
а) AC ∥ NO, где NO — биссектриса угла ANB; б) NO = 169/5 = 33,8.
Проверка и обоснование
Независимая координатная модель: N(0;0), O(33,8;0), A(28,8;12), B(28,8;−12), C(38,8;12). Она даёт AB = 24, AC = 10, OB = 13; скалярные произведения OA·NA и OB·NB равны нулю, поэтому обе прямые действительно касательные. NO = 33,8.
Где легко ошибиться. Радиус 13 — промежуточный результат; спрашивают расстояние NO от вершины угла до центра. В пропорции подобных треугольников нужно сопоставить стороны по равным углам.
18
Задание 18 · 2 примера
Уравнение с параметром
Пример 1. Система с модулем и параметром
Найдите все a, при которых система 4x − y + a = 0, 2|y| − x² + 4x = 0 имеет ровно два различных решения (x; y).
Как решить
- Из первого уравнения y = 4x + a. Во втором 2|y| = x² − 4x = x(x − 4), поэтому обязательно x ≤ 0 или x ≥ 4. Значения 0 < x < 4 невозможны, так как правая часть была бы отрицательной.
- При y ≥ 0 второе уравнение задаёт верхние части параболы y = x²/2 − 2x. Пересечение с прямой даёт x² − 12x − 2a = 0, откуда x = 6 ± √(36 + 2a). Действительные корни существуют при a ≥ −18.
- Для верхней параболы корень 6 + √(36 + 2a) всегда не меньше 6 и подходит. Другой корень 6 − √(36 + 2a) подходит, только если он не меньше 4 или не больше 0. Это даёт соответственно a ≤ −16 или a ≥ 0. При a = −18 два корня совпадают в x = 6.
- Значит, число пересечений с верхними частями равно 0 при a < −18; 1 при a = −18; 2 при −18 < a ≤ −16; 1 при −16 < a < 0; 2 при a ≥ 0.
- При y ≤ 0 имеем нижние части параболы y = −x²/2 + 2x. После подстановки прямой получаем x² + 4x + 2a = 0, то есть x = −2 ± √(4 − 2a). Действительные корни существуют при a ≤ 2.
- Корень −2 − √(4 − 2a) всегда не больше −2 и подходит. Корень −2 + √(4 − 2a) подходит, если он не больше 0 или не меньше 4. Это происходит соответственно при a ≥ 0 или a ≤ −16. При a = 2 оба корня совпадают в x = −2.
- Число пересечений с нижними частями равно 2 при a ≤ −16; 1 при −16 < a < 0; 2 при 0 ≤ a < 2; 1 при a = 2; 0 при a > 2.
- Мы включили y = 0 в обе ветви. Поэтому при a = −16 точка (4; 0), а при a = 0 точка (0; 0) посчитаны дважды. В этих двух случаях из суммы нужно вычесть 1. При a = −18 и a = 2 совпадение корней каждой квадратной формулы уже учтено.
- Теперь складываем количества. При a < −18 решений 2; при a = −18 — 3; при −18 < a < −16 — 4; при a = −16 — 3; при −16 < a < 0 — 2; при a = 0 — 3; при 0 < a < 2 — 4; при a = 2 — 3; при a > 2 — 2.
- Выбираем только промежутки с двумя решениями: a ∈ (−∞; −18) ∪ (−16; 0) ∪ (2; +∞). Ни одно из четырёх граничных значений в ответ не входит.
Ответ / ориентир
a ∈ (−∞; −18) ∪ (−16; 0) ∪ (2; +∞).
Проверка и обоснование
При a = −20, −8 и 3 получаем по два решения; при a = −17 и 1 — по четыре; при a = −18, −16, 0 и 2 — по три. Каждая пара проверена подстановкой в исходную систему с модулем.
Где легко ошибиться. Нельзя считать пересечения с целыми параболами: части при 0 < x < 4 не подходят. Точки с y = 0 не должны считаться дважды, а касание даёт одно решение вместо двух.
Пример 2 · ИЛИПараметр в уравнении четвёртой степени: разложение и число различных корней
Задание 18, пример 2
Найдите все a, при которых уравнение ax⁴ − 2x³ + (a³ − a)x² − (2a² − 2)x = −ax³ + 2x² − (a³ − a)x + 2a² − 2 имеет ровно два различных действительных корня.
Как решить
- Переносим правую часть влево. После группировки получаем (x + 1)[ax³ − 2x² + (a³ − a)x − 2a² + 2] = 0. Это тождественное преобразование; деления на выражения с параметром здесь нет.
- В квадратных скобках группируем слагаемые: x²(ax − 2) + (a² − 1)(ax − 2). Выносим общий множитель: (x + 1)(x² + a² − 1)(ax − 2) = 0.
- Таким образом, корни образуют объединение решений трёх уравнений: x = −1; x² = 1 − a²; ax = 2. Важно считать различные значения x, а не количество множителей. Также a = 0 нужно рассматривать отдельно, потому что выражение 2/a при нём не определено.
- Случай a = 0. Линейное уравнение ax = 2 решений не имеет, а квадратное даёт x = −1 и x = 1. Постоянный корень −1 уже входит в эту пару, поэтому различных корней ровно два. Значение a = 0 подходит.
- Случай |a| > 1. Квадратное уравнение x² = 1 − a² не имеет действительных корней. Остаются x = −1 и x = 2/a. Они совпадают только при 2/a = −1, то есть a = −2. Поэтому при a = −2 имеется один корень, а при остальных |a| > 1 — ровно два.
- Случаи a = ±1. Квадратное уравнение даёт единственное значение x = 0. При a = 1 полный набор корней {−1;0;2}, при a = −1 — {−2;−1;0}. Оба случая дают по три различных корня и не подходят.
- Остаётся 0 < |a| < 1. Квадратное уравнение даёт два различных корня ±√(1 − a²), лежащих строго между −1 и 1; ни один не равен постоянному корню −1. При этом |2/a| > 2, поэтому линейный корень отличается от обоих квадратных корней и от −1. Всего ровно четыре корня, этот случай также не подходит.
- Все значения параметра рассмотрены. Объединяем подходящие случаи: |a| > 1 при a ≠ −2 и отдельное a = 0. В интервальной записи: a ∈ (−∞;−2) ∪ (−2;−1) ∪ {0} ∪ (1;+∞).
Ответ / ориентир
a ∈ (−∞;−2) ∪ (−2;−1) ∪ {0} ∪ (1;+∞).
Проверка и обоснование
Раскрытие произведения точно совпадает с разностью исходных частей. Независимая проверка на 33 рациональных значениях параметра от −4 до 4: при a = −3, −3/2, 0, 2 — два корня; при −2 — один; при ±1 — три; при ±1/2 — четыре. Все найденные корни подставлены в исходный многочлен.
Где легко ошибиться. При a = 0 степень многочлена понижается, а формула x = 2/a перестаёт существовать. При a = −2 два формально выписанных корня совпадают. Пропуск любого из этих особых случаев меняет ответ.
19
Задание 19 · 2 примера
Числа и их свойства
Пример 1. Карточки: оценка и пример
Есть синие и красные карточки, хотя бы по одной каждого цвета. На синих — различные целые числа, кратные 5; на красных — различные чётные числа. Все числа строго больше −120. Между цветами повторения разрешены. Максимальное красное число равно удвоенному числу синих карточек, максимальное синее — числу красных. а) Возможны ли 6 карточек? б) Может ли красных быть на 90 больше? в) Каково максимальное общее количество?
Как решить
- а) Построим пример: одна синяя карточка с числом 5 и пять красных с числами −6, −4, −2, 0, 2. Синее число кратно 5, красные числа чётные и различны, все больше −120. Максимум красных равен 2 = 2 · 1, максимум синих равен 5 — числу красных. Значит, шесть карточек возможны.
- Для остальных пунктов обозначим число синих карточек через b, красных через r. Тогда наибольшее красное число равно 2b, а наибольшее синее равно r. В частности, r кратно 5.
- Самое маленькое допустимое чётное число — −118. Между −118 и 2b включительно находятся (2b + 118)/2 + 1 = b + 60 различных чётных чисел. Красных карточек не может быть больше, поэтому r ≤ b + 60.
- б) Если бы красных было на 90 больше, выполнялось бы r = b + 90, что противоречит r ≤ b + 60. Поэтому такой набор невозможен.
- в) Самое маленькое допустимое кратное 5 — −115. От −115 до r включительно расположено (r + 115)/5 + 1 = r/5 + 24 различных кратных 5. Следовательно, b ≤ r/5 + 24.
- Объединяем ограничения: b ≤ (b + 60)/5 + 24. Умножаем на 5: 5b ≤ b + 180, откуда b ≤ 45. Тогда r ≤ b + 60 ≤ 105, а общее количество b + r ≤ 150.
- Осталось доказать достижимость, иначе найденная граница ещё не является ответом. Возьмём все кратные 5 от −115 до 105 включительно: их (105 + 115)/5 + 1 = 45. Это синие карточки.
- Возьмём все чётные числа от −118 до 90 включительно: их (90 + 118)/2 + 1 = 105. Это красные карточки. Максимум синих 105 равен числу красных, максимум красных 90 равен 2 · 45. Все ограничения выполнены, и общее количество равно 150.
Ответ / ориентир
а) Да; б) нет; в) 150 карточек.
Проверка и обоснование
Предъявленные наборы содержат ровно 45 синих и 105 красных карточек. Верхняя оценка доказана отдельно от примера, поэтому 150 — максимум, а не просто возможное количество.
Где легко ошибиться. Условие «больше −120» строгое: начинать ряды с −120 нельзя. Для доказательства максимума нужны и верхняя граница, и пример, который её достигает.
Пример 2 · ИЛИМонеты: достижимость суммы и доказательство минимального дополнения
Задание 19, пример 2
Имеются 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. а) Можно ли набрать 175 рублей? б) Можно ли набрать 176 рублей? в) Какое наименьшее число монет по 1 рублю надо добавить, чтобы можно было набрать любую целую сумму от 1 до 180 рублей включительно?
Как решить
- а) Для положительного ответа достаточно предъявить набор: берём все 29 пятирублёвых монет и 15 из 16 двухрублёвых. Получаем 29 · 5 + 15 · 2 = 145 + 30 = 175 рублей. Все ограничения по количеству монет соблюдены.
- б) Предположим, что 176 = 2u + 5v, где 0 ≤ u ≤ 16 и 0 ≤ v ≤ 29 — целые числа. Левая часть и 2u чётные, значит, v тоже чётно. Поэтому пятирублёвых монет можно взять не более 28, а их сумма не превышает 140 рублей.
- Тогда двухрублёвыми монетами пришлось бы набрать не меньше 176 − 140 = 36 рублей. Но все 16 таких монет дают только 32 рубля. Противоречие: набрать 176 рублей нельзя.
- в) Сначала докажем нижнюю границу. Общая сумма имеющихся монет равна 16 · 2 + 29 · 5 = 32 + 145 = 177 рублей. Чтобы получить 180 рублей, необходимо добавить хотя бы 3 монеты по 1 рублю. Значит, ответ не меньше 3.
- Теперь докажем, что трёх монет действительно хватит для каждой суммы, а не только для 180. Пусть S — произвольное целое число от 1 до 180. Берём v = min(29, ⌊S/5⌋) пятирублёвых монет; знак ⌊ ⌋ означает целую часть, то есть округление вниз. Остаток R = S − 5v неотрицателен.
- Если пятирублёвые монеты не закончились, R находится между 0 и 4. Если взяты все 29 монет, R = S − 145 ≤ 35. В любом случае 0 ≤ R ≤ 35.
- Берём u = min(16, ⌊R/2⌋) двухрублёвых монет. Если их запас не исчерпан, остаётся 0 или 1 рубль. Если использованы все 16, они дают 32 рубля, и остаток R − 32 находится между 0 и 3. Любой такой остаток добирается имеющимися тремя монетами по 1 рублю.
- Итак, для каждой суммы S от 1 до 180 построен допустимый набор с не более чем 29 пятирублёвыми, 16 двухрублёвыми и 3 однорублёвыми монетами. Достаточность доказана; вместе с нижней границей это даёт минимум 3 монеты.
Ответ / ориентир
а) Да; б) нет; в) 3 монеты по 1 рублю.
Проверка и обоснование
Полным перебором всех 17 · 30 сочетаний исходных монет подтверждены достижимость 175 и недостижимость 176. После добавления трёх однорублёвых монет проверены все 180 сумм от 1 до 180; пропусков нет. Конструктивный алгоритм из решения также проверен отдельно для каждой суммы.
Где легко ошибиться. Для минимума нужно доказать две вещи: меньше трёх монет недостаточно и трёх хватает для всех сумм. Возможность набрать только 180 рублей сама по себе не доказывает покрытие остальных 179 сумм.
Как превратить разбор в результат
- Запишите, где остановились: условие, способ решения, вычисления или оформление.
- Закройте объяснение и повторите этот номер самостоятельно.
- Возьмите похожее задание из открытого банка ФИПИ. Проверьте, переносится ли способ на новое условие.
Источники и границы разбора
Основа — утверждённые материалы ФИПИ 2027, проверенные 13 ноября 2026 года. Демоверсия показывает устройство экзамена и примеры заданий; на реальном экзамене будут другие условия.
Первый шаг — бесплатный разбор вашей ситуации
Нужна помощь с подготовкой?
На бесплатном разборе вашей ситуации уточним цель и сложные темы. Можно заниматься онлайн из любого города. Подходящий формат и наличие занятий согласуем отдельно.
Оставьте заявку
Свяжемся с вами, уточним задачу и обсудим следующий шаг. Запись не обязывает покупать занятия.
Заявка принята
Спасибо! Свяжемся с вами, уточним задачу и согласуем удобный формат разговора. Если есть решённая работа, сохраните её для обсуждения.
Обсудим следующий шаг
Уточним подходящий формат и наличие занятий. Стоимость и расписание согласуем до записи.
Решение за вами
После бесплатного разговора можно выбрать занятия или продолжить подготовку самостоятельно.
Первый шагБесплатный разбор вашей ситуации