ЕГЭ-2027: вариант №1 по математике — решать онлайн

Часть 1 · краткий ответ

Задание 1 / 20

Площади фигур

В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC равны 21 и 9 соответственно, а боковая сторона равна 10. Найдите площадь трапеции.

Равнобедренная трапеция ABCD: AD — нижнее основание, BC — верхнее. — Рисунок из авторского варианта. Увеличить рисунок

Не знаю, с чего начать

Что можно найти, если опустить высоты из концов меньшего основания?

Ещё один ориентир

Разность оснований делится поровну на две проекции боковых сторон. Найдите проекцию, затем высоту по теореме Пифагора.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 120.

Проекция боковой стороны на большее основание равна (21 − 9) / 2 = 6. По теореме Пифагора высота равна √(10² − 6²) = 8. Площадь: (21 + 9) / 2 × 8 = 120.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 3

Часть 1 · краткий ответ

Задание 2 / 20

Векторы

Даны векторы $\vec{a}$ (4; 1) и $\vec{b}$ (−2; 6). Найдите длину вектора $2 \vec{a} + \vec{b}$ .

Не знаю, с чего начать

Начните не с длины, а с координат нового вектора.

Ещё один ориентир

Умножьте обе координаты a на 2 и прибавьте соответствующие координаты b. Только после этого используйте формулу длины вектора.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 10.

Сначала найдите координаты: 2a⃗ + b⃗ = (8 − 2; 2 + 6) = (6; 8). Длина этого вектора: √(6² + 8²) = √100 = 10.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 3

Часть 1 · краткий ответ

Задание 3 / 20

Поверхности тел

В цилиндр вписан шар: шар касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Площадь полной поверхности цилиндра равна 54. Найдите площадь поверхности шара.

Шар внутри цилиндра касается верхнего и нижнего оснований и боковой поверхности. — Рисунок из авторского варианта. Увеличить рисунок

Не знаю, с чего начать

Как связаны радиус шара и высота цилиндра?

Ещё один ориентир

Шар касается обоих оснований: высота цилиндра равна двум радиусам. Запишите полную поверхность цилиндра через один радиус.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 36.

Если радиус шара равен r, то радиус цилиндра тоже r, а его высота — 2r. Полная поверхность цилиндра: 2πr² + 2πr · 2r = 6πr² = 54. Значит, πr² = 9, а поверхность шара 4πr² = 36.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 3

Часть 1 · краткий ответ

Задание 4 / 20

Вероятность

В коробке лежат 24 одинаковых на вид чайных пакетика: 9 пакетиков с зелёным чаем, 6 — с белым, остальные — с чёрным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакетик окажется с чёрным чаем.

Не знаю, с чего начать

Сначала посчитайте пакетики нужного цвета.

Ещё один ориентир

Вероятность здесь — число подходящих пакетиков, делённое на число всех пакетиков. Белый и зелёный чай не относятся к нужному исходу.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,375.

С чёрным чаем 24 − 9 − 6 = 9 пакетиков. Благоприятных исходов 9, всех равновозможных исходов 24: P = 9 / 24 = 0,375.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 4

Часть 1 · краткий ответ

Задание 5 / 20

Полная вероятность

Камера на въезде в паркинг автоматически распознаёт номера автомобилей. Номер автомобиля оказывается чистым с вероятностью 0,85; чистый номер камера распознаёт с вероятностью 0,98. Загрязнённый номер камера распознаёт с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что номер случайно выбранного въезжающего автомобиля будет распознан.

Не знаю, с чего начать

Распознаться может и чистый, и загрязнённый номер.

Ещё один ориентир

Рассмотрите два случая отдельно. Для каждого перемножьте вероятность состояния номера и распознавания, затем сложите результаты.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,923.

Распознать можно и чистый, и загрязнённый номер. Вероятность загрязнённого номера: 1 − 0,85 = 0,15. Складываем вероятности двух случаев: 0,85 × 0,98 + 0,15 × 0,6 = 0,923.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 4

Часть 1 · краткий ответ

Задание 6 / 20

Математическое ожидание

На складе хранятся 200 коробок с одинаковыми деталями. Распределение коробок по числу деталей в них приведено в таблице.

Распределение коробок
Число деталей в коробке	10	12	15
Число коробок	120	50	30

Кладовщик выбирает одну коробку наугад. Найдите математическое ожидание числа деталей в выбранной коробке.

Не знаю, с чего начать

Коробки бывают трёх типов, но этих типов не поровну.

Ещё один ориентир

Используйте взвешенное среднее: умножьте количество деталей на число таких коробок, сложите и разделите на общее число коробок.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 11,25.

Каждая коробка выбирается с одинаковой вероятностью. Взвешенное среднее: (10 × 120 + 12 × 50 + 15 × 30) / 200 = 2250 / 200 = 11,25.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 4

Часть 1 · краткий ответ

Задание 7 / 20

Логарифмические уравнения

Найдите корень уравнения

\log_{3} (2 x + 5) = \log_{3} (x - 1) + 2

Не знаю, с чего начать

Какие значения x допустимы в обоих логарифмах?

Ещё один ориентир

Запишите 2 как логарифм по основанию 3. Объедините логарифмы и перейдите к равенству аргументов, сохраняя ОДЗ.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 2.

Область допустимых значений: x > 1. Число 2 равно log₃9. Поэтому 2x + 5 = 9(x − 1), откуда 7x = 14 и x = 2. Оба аргумента логарифмов при этом положительны.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 5

Часть 1 · краткий ответ

Задание 8 / 20

Свойства логарифмов

Найдите значение выражения

\frac{\log_{3} 64}{\log_{3} 4} + 5^{\log_{25} 49}

Не знаю, с чего начать

В первом слагаемом помогает смена основания логарифма.

Ещё один ориентир

Во втором слагаемом представьте 25 и 49 как квадраты. Тогда показатель можно выразить через логарифм по основанию 5.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 10.

По формуле перехода к новому основанию log₃64 / log₃4 = log₄64 = 3. Так как 25 = 5² и 49 = 7², log₂₅49 = log₅7, а 5 в этой степени равно 7. Сумма: 3 + 7 = 10.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 5

Часть 1 · краткий ответ

Задание 9 / 20

Производная и экстремумы

На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−7; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [−6; 7].

График производной на координатной сетке, шаг сетки — 1. Для чтения деталей откройте увеличенный рисунок. — Рисунок из авторского варианта. Увеличить рисунок

Не знаю, с чего начать

Перед вами производная, а не сама функция. Какие её нули действительно дают экстремум?

Ещё один ориентир

Ищите переход через ось со сменой знака. Касание без смены знака не считайте. Не выходите за заданный отрезок.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 4.

Экстремумы функции ищем там, где её производная меняет знак. На отрезке [−6; 7] это точки −5, 1, 4 и 6. В точке −2 производная касается оси, но не меняет знак — экстремума нет. Всего 4 точки.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 5

Часть 1 · краткий ответ

Задание 10 / 20

Показательные модели

Масса радиоактивного изотопа в образце уменьшается по закону

m (t) = m_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}

где m₀ — начальная масса изотопа (в мг), t — время (в минутах), прошедшее от начального момента, T — период полураспада (в минутах). В начальный момент масса изотопа m₀ = 160 мг, период его полураспада T = 12 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг?

Не знаю, с чего начать

Во сколько раз должна уменьшиться масса?

Ещё один ориентир

Разделите начальную массу на конечную и представьте отношение как степень двойки. Степень покажет количество периодов полураспада.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 60.

160 / 5 = 32 = 2⁵: масса должна уменьшиться вдвое пять раз. Один период полураспада — 12 минут. Поэтому t = 5 × 12 = 60 минут.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 6

Часть 1 · краткий ответ

Задание 11 / 20

Движение по реке

Катер прошёл 36 км против течения реки и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Не знаю, с чего начать

Скорость катера относительно воды и берега — разные величины.

Ещё один ориентир

Обозначьте собственную скорость v. Время против течения — расстояние, делённое на v − 2; по течению — на v + 2. Сумма времён известна.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 20.

Пусть собственная скорость v > 2. Время пути: 36 / (v − 2) + 22 / (v + 2) = 3. После преобразования: 3v² − 58v − 40 = 0. Положительный корень v = 20, отрицательный не подходит. Проверка: 36 / 18 + 22 / 22 = 3 часа.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 6

Часть 1 · краткий ответ

Задание 12 / 20

График гиперболы

На рисунке изображён график функции вида

f (x) = \frac{k}{x + a}

Найдите значение f(−11).

Гипербола с двумя отмеченными точками на координатной сетке с шагом 1. — Рисунок из авторского варианта. Увеличить рисунок

Не знаю, с чего начать

Прочитайте координаты двух отмеченных точек по сетке.

Ещё один ориентир

Подставьте каждую пару координат в формулу. Получатся два уравнения для k и a. После их нахождения вычислите значение функции.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: -0,5.

На рисунке отмечены точки (3; 3) и (−2; −2). Подставляем их: k = 3(3 + a) и k = −2(−2 + a). Отсюда a = −1, k = 6. Тогда f(−11) = 6 / (−11 − 1) = −0,5.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 7

Часть 1 · краткий ответ

Задание 13 / 20

Кредит и проценты

В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на пять лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 690 000 рублей?

Не знаю, с чего начать

Здесь равными частями уменьшается долг, а не весь ежегодный платёж.

Ещё один ориентир

Выразите долг перед каждым начислением процентов через начальную сумму S: S, 4S/5, 3S/5, 2S/5, S/5. Отдельно сложите проценты и возврат самого кредита.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваш ответ

Целое число или десятичная дробь. Запятая и точка подходят; единицы измерения не нужны.

Показать ответ и разбор

Ответ: 1300000.

Пусть кредит равен S. Перед начислением процентов долг составляет S, 4S/5, 3S/5, 2S/5 и S/5. Всего процентов: 0,1S × (1 + 4/5 + 3/5 + 2/5 + 1/5) = 0,3S. Возврат кредита и проценты: 1,3S = 1 690 000. Значит, S = 1 300 000 рублей.

Разбор по авторскому ключу. Если открыли его до решения, попробуйте потом повторить номер без подсказки.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 7

Часть 2 · развёрнутое решение

Задание 14 / 20

Тригонометрическое уравнение

а) Решите уравнение

2 \cos^{2} x - 3 \cos (\frac{3 π}{2} + x) = 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{7 π}{2}; - 2 π]$ .

Не знаю, с чего начать

Попробуйте выразить всё через одну тригонометрическую функцию.

Ещё один ориентир

Используйте cos(3π/2 + x) = sin x и cos²x = 1 − sin²x. После решения уравнения отдельно отберите корни на указанном отрезке.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваше решение и ответ

Это черновик, не отправка преподавателю. Решение можно вести на бумаге, а здесь сохранить основные шаги. Автоматической оценки части 2 нет.

Как проверить решение?

Сначала закончите собственное решение. Затем сверьте ограничения, ход рассуждений и ответ с авторским разбором. Совпадение одного ответа ещё не означает полного решения.

Открыть решение №14 в PDF · страница 6

Авторские критерии не заменяют проверку преподавателя.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 8

Часть 2 · развёрнутое решение

Задание 15 / 20

Сечение пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 6. Точка K — середина ребра SC. Плоскость α проходит через точки A и K параллельно прямой BD.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Не знаю, с чего начать

Нарисуйте пирамиду и обозначьте пересечения секущей плоскости с рёбрами SB и SD.

Ещё один ориентир

Учитывайте параллельность BD. Можно ввести координаты вершин или использовать подобие; сначала обоснуйте положение точек сечения, затем вычисляйте площадь.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваше решение и ответ

Это черновик, не отправка преподавателю. Решение можно вести на бумаге, а здесь сохранить основные шаги. Автоматической оценки части 2 нет.

Как проверить решение?

Сначала закончите собственное решение. Затем сверьте ограничения, ход рассуждений и ответ с авторским разбором. Совпадение одного ответа ещё не означает полного решения.

Открыть решение №15 в PDF · страница 7

Авторские критерии не заменяют проверку преподавателя.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 9

Часть 2 · развёрнутое решение

Задание 16 / 20

Неравенство

Решите неравенство

\frac{4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8}{\log_{3} (x + 2)} ⩾ 0

Не знаю, с чего начать

Начните с области определения и знака знаменателя.

Ещё один ориентир

Для числителя сделайте замену t = 2^x. Для знаменателя помните: аргумент логарифма положителен, а сам знаменатель не равен нулю. Затем составьте таблицу знаков.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваше решение и ответ

Это черновик, не отправка преподавателю. Решение можно вести на бумаге, а здесь сохранить основные шаги. Автоматической оценки части 2 нет.

Как проверить решение?

Сначала закончите собственное решение. Затем сверьте ограничения, ход рассуждений и ответ с авторским разбором. Совпадение одного ответа ещё не означает полного решения.

Открыть решение №16 в PDF · страница 8

Авторские критерии не заменяют проверку преподавателя.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 10

Часть 2 · развёрнутое решение

Задание 17 / 20

Оптимизация расходов

Расходы на топливо для речного теплохода пропорциональны кубу его скорости: при скорости v км/ч они составляют 0,025v³ рублей за час движения. Прочие расходы не зависят от скорости и составляют 400 рублей за час. Затраты C (в рублях) на 1 км пути при движении с постоянной скоростью v км/ч вычисляются по формуле

C (v) = \frac{0,025 v^{3} + 400}{v}

Скорость теплохода не может превышать 30 км/ч. При какой скорости затраты на 1 км пути будут наименьшими? Ответ дайте в км/ч.

Не знаю, с чего начать

Минимизируются затраты на километр, не на час.

Ещё один ориентир

Упростите C(v), найдите производную и её знак при 0 < v ≤ 30. Проверьте, даёт ли критическая точка минимум на допустимом промежутке.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваше решение и ответ

Это черновик, не отправка преподавателю. Решение можно вести на бумаге, а здесь сохранить основные шаги. Автоматической оценки части 2 нет.

Как проверить решение?

Сначала закончите собственное решение. Затем сверьте ограничения, ход рассуждений и ответ с авторским разбором. Совпадение одного ответа ещё не означает полного решения.

Открыть решение №17 в PDF · страница 9

Авторские критерии не заменяют проверку преподавателя.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 11

Часть 2 · развёрнутое решение

Задание 18 / 20

Окружности и треугольники

Точка H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC.

а) Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и AHB, равны.

б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если AB = 12 и ∠ACB = 60°.

Не знаю, с чего начать

Как связаны углы AHB и ACB для ортоцентра остроугольного треугольника?

Ещё один ориентир

Примените теорему синусов к общей стороне AB. Для пункта б) учтите расположение центров относительно общей хорды, а не только равенство радиусов.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваше решение и ответ

Это черновик, не отправка преподавателю. Решение можно вести на бумаге, а здесь сохранить основные шаги. Автоматической оценки части 2 нет.

Как проверить решение?

Сначала закончите собственное решение. Затем сверьте ограничения, ход рассуждений и ответ с авторским разбором. Совпадение одного ответа ещё не означает полного решения.

Открыть решение №18 в PDF · страница 11

Авторские критерии не заменяют проверку преподавателя.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 12

Часть 2 · развёрнутое решение

Задание 19 / 20

Уравнение с параметром

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

| x^{2} - 2 x - 3 | = x + a

имеет ровно два различных корня.

Не знаю, с чего начать

Уравнение можно рассмотреть как пересечение двух графиков.

Ещё один ориентир

Раскройте модуль по промежуткам, где x² − 2x − 3 имеет постоянный знак. Считайте только корни, принадлежащие своему промежутку; границы не дублируйте.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваше решение и ответ

Это черновик, не отправка преподавателю. Решение можно вести на бумаге, а здесь сохранить основные шаги. Автоматической оценки части 2 нет.

Как проверить решение?

Сначала закончите собственное решение. Затем сверьте ограничения, ход рассуждений и ответ с авторским разбором. Совпадение одного ответа ещё не означает полного решения.

Открыть решение №19 в PDF · страница 13

Авторские критерии не заменяют проверку преподавателя.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 13

Часть 2 · развёрнутое решение

Задание 20 / 20

Числа и среднее арифметическое

На доске написано несколько (не менее трёх) различных натуральных чисел. Их среднее арифметическое равно 30. Если стереть с доски наибольшее из этих чисел, то среднее арифметическое оставшихся чисел окажется равным 27. Если же вместо этого стереть наименьшее из написанных чисел, то среднее арифметическое оставшихся чисел окажется равным 31.

а) Может ли наименьшее из написанных чисел быть равным 10?

б) Может ли наибольшее из написанных чисел быть равным 100?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Не знаю, с чего начать

Обозначьте количество чисел n и выразите их общую сумму.

Ещё один ориентир

Сравните суммы до и после удаления одного числа. Получите выражения для наибольшего и наименьшего чисел через n; затем проверьте натуральность, различие и возможность набора.

Подсказка помогает выбрать ход. Полный разбор лучше открывать после своей попытки.

Ваше решение и ответ

Это черновик, не отправка преподавателю. Решение можно вести на бумаге, а здесь сохранить основные шаги. Автоматической оценки части 2 нет.

Как проверить решение?

Сначала закончите собственное решение. Затем сверьте ограничения, ход рассуждений и ответ с авторским разбором. Совпадение одного ответа ещё не означает полного решения.

Открыть решение №20 в PDF · страница 14

Авторские критерии не заменяют проверку преподавателя.

Отметить, что помешало

Чтобы знать, что повторить

Это ваша заметка, не автоматический диагноз.

Условие в исходном PDF · стр. 14

ЕГЭ-2027.
Профильная математика.
Вариант №1.

Один номер за другим.

Задание 1 / 20

Задание 2 / 20

Задание 3 / 20

Задание 4 / 20

Задание 5 / 20

Задание 6 / 20

Задание 7 / 20

Задание 8 / 20

Задание 9 / 20

Задание 10 / 20

Задание 11 / 20

Задание 12 / 20

Задание 13 / 20

Задание 14 / 20

Задание 15 / 20

Задание 16 / 20

Задание 17 / 20

Задание 18 / 20

Задание 19 / 20

Задание 20 / 20

Как идёт часть 1?

Мой следующий шаг

Начать вариант заново?

Бумага тоже подойдёт.

Вариант №1 — задания

Ответы, решения и методика

Не только получить ответ.

У результата должен быть следующий шаг

Готовитесь самостоятельно?

Готовитесь в Зеленограде?

ЕГЭ-2027.Профильная математика.Вариант №1.

Один номер за другим.

Задание 1 / 20

Задание 2 / 20

Задание 3 / 20

Задание 4 / 20

Задание 5 / 20

Задание 6 / 20

Задание 7 / 20

Задание 8 / 20

Задание 9 / 20

Задание 10 / 20

Задание 11 / 20

Задание 12 / 20

Задание 13 / 20

Задание 14 / 20

Задание 15 / 20

Задание 16 / 20

Задание 17 / 20

Задание 18 / 20

Задание 19 / 20

Задание 20 / 20

Как идёт часть 1?

Мой следующий шаг

Бумага тоже подойдёт.

Вариант №1 — задания

Ответы, решения и методика

Не только получить ответ.

У результата должен быть следующий шаг

Готовитесь самостоятельно?

Готовитесь в Зеленограде?

ЕГЭ-2027.
Профильная математика.
Вариант №1.