Задание 17 ЕГЭ-2027: модели, 79 задач с ответами и PDF

1

Блок 1

Формула — это машина: подставляем и вычисляем

В задании 17 почти всегда есть формула: её дают в условии или её нужно вспомнить. Первый навык — подставить числа без ошибок.

РазборМощность электроплитки

Плитка включена в сеть напряжением

U = 220

В, сопротивление спирали

R = 55

Ом. Найдите мощность по формуле

P = \frac{U^{2}}{R}

.

P = \frac{22 0^{2}}{55} = \frac{48 400}{55} = 880 Вт .

Удобнее сначала сократить:

\frac{220}{55} = 4

, значит

P = 220 \cdot 4 = 880

Вт. Ответ: 880 Вт.

ПравилоТри привычки

1) Все величины переводим в одни единицы (обычно СИ: метры, секунды, омы, вольты). 2) Сначала сокращаем, потом умножаем. 3) Проверяем, правдоподобен ли ответ: чайник на 50 000 Вт — повод искать ошибку.

Продолжить подготовкуТема 2. Уравнения и неравенства →

2

Блок 2

Из формулы — уравнение или неравенство

Теперь известен результат, а найти нужно одну из величин в формуле. Получается уравнение. Если в вопросе есть слова «не менее», «не более», «выгоднее», получается неравенство.

РазборСколько секунд мяч выше 15 м

Высота мяча меняется по закону

h (t) = 20 t - 5 t^{2}

(м). Сколько секунд мяч находится на высоте не менее 15 м?

Составляем неравенство:

20 t - 5 t^{2} \geq 15 ⟺ 5 t^{2} - 20 t + 15 \leq 0 ⟺ t^{2} - 4 t + 3 \leq 0.

Корни:

t = 1

и

t = 3

, решение:

1 \leq t \leq 3

.
Мяч выше 15 м с первой по третью секунду, это 2 секунды.

Вывод«Сколько времени…» — это длина промежутка

Если спрашивают, сколько времени величина выше (ниже) порога, ответ — длина промежутка:

t_{2} - t_{1}

. Сами моменты

t_{1}, t_{2}

ответом не являются.

ЛовушкаПосторонний корень

Из

I^{2} = 25

получается

I = \pm 5

. Сила тока в такой задаче — величина неотрицательная, поэтому остаётся

I = 5

. Отбор корней по смыслу — часть решения, его нужно записать.

Продолжить подготовкуТема 3. Из текста — в функцию →

3

Блок 3

Текст → функция одной переменной

Главный шаг задания 17: из словесного описания получить функцию. Если неизвестных две, связываем их условием задачи (периметр, объём, путь) и одну выражаем через другую.

РазборУчасток у стены

Прямоугольный участок примыкает к длинной стене, а с трёх других сторон огорожен забором длиной 40 м. Выразите площадь участка через одну переменную.

Пусть

x

м — длина каждой из двух сторон, перпендикулярных стене. Тогда сторона, параллельная стене, равна

40 - 2 x

.
Модель:

S (x) = x (40 - 2 x)

. Ограничения:

x > 0

и

40 - 2 x > 0

, то есть

0 < x < 20

.
Без ограничений модель неполная: например, при

x = 25

формула даёт отрицательную площадь.

ПравилоЧек-лист модели

☐ буквой обозначена величина, которую мы выбираем (длина, скорость, цена, сопротивление); ☐ остальные величины выражены через неё; ☐ записана формула искомой величины; ☐ записаны ограничения по смыслу.

В задачах 3.1–3.8: составьте функцию, укажите ограничения на переменную и вычислите значение функции в указанной точке.

3.1

Периметр прямоугольника

30

см, одна сторона

x

см. Площадь

S (x)

; найдите

S (4)

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 3.1

Сверить ответ

Ответ:

S = x (15 - x)

,

0 < x < 15

;

S (4) = 44

3.2

Из квадратного листа

12 \times 12

см по углам вырезают квадраты со стороной

x

и сгибают открытую коробку. Объём

V (x)

; найдите

V (2)

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 3.2

Сверить ответ

Ответ:

V = x (12 - 2 x)^{2}

,

0 < x < 6

;

V (2) = 128

3.3

Источник:

E = 12

В,

r = 3

Ом, нагрузка

R

. Выразите мощность на нагрузке

P (R)

(закон Ома + Джоуль–Ленц); найдите

P (3)

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 3.3

Сверить ответ

Ответ:

P = \frac{144 R}{(R + 3)^{2}}

,

R > 0

;

P (3) = 12

3.4

Грузовик проходит

300

км со скоростью

v

км/ч. Расходы за час:

0, 5 v^{2}

руб. на топливо и

1800

руб. оплата водителя. Стоимость поездки

C (v)

; найдите

C (90)

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 3.4

Сверить ответ

Ответ:

C = 150 v + \frac{540 000}{v}

,

v > 0

;

C (90) = 19 500

3.5

Себестоимость изделия

10

руб., при цене

p

продают

200 - 5 p

штук. Прибыль

Π (p)

; найдите

Π (20)

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 3.5

Сверить ответ

Ответ: Π(p) = (p − 10)(200 − 5p), 0 ≤ p ≤ 40; Π(20) = 1000. Если дополнительно требуются положительные прибыль и спрос: 10 < p < 40.

3.6

Лист жести шириной

24

см сгибают в жёлоб: края шириной

x

см загибают вверх под прямым углом. Площадь поперечного сечения

S (x)

; найдите

S (5)

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 3.6

Сверить ответ

Ответ:

S = x (24 - 2 x)

,

0 < x < 12

;

S (5) = 70

3.7

Бак без крышки с квадратным дном (сторона

a

дм) имеет объём

32

дм³. Площадь поверхности

S (a)

; найдите

S (2)

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 3.7

Сверить ответ

Ответ:

S = a^{2} + \frac{128}{a}

,

a > 0

;

S (2) = 68

3.8

При цене билета

500

руб. приходят

300

зрителей. Каждое повышение цены на

50

руб. уменьшает число зрителей на

20

. Выручка

B (n)

после

n

повышений; найдите

B (5)

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 3.8

Сверить ответ

Ответ: B(n) = (500 + 50n)(300 − 20n), n = 0, 1, …, 15; B(5) = 150 000. При положительном числе зрителей: n ≤ 14.

Продолжить подготовкуТема 4. Максимум без производной →

4

Блок 4

Наибольшее и наименьшее без производной: парабола

Многие модели оказываются квадратичными. Для них наибольшее или наименьшее значение можно найти через вершину параболы, без производной.

РазборНаивысшая точка полёта

h (t) = 20 t - 5 t^{2}

. Найдите наибольшую высоту мяча.

Корни:

h = 0

при

t = 0

и

t = 4

. Парабола симметрична, поэтому вершина лежит посередине между корнями:

t = 2

.

h (2) = 40 - 20 = 20

м. Ветви направлены вниз (коэффициент при

t^{2}

отрицательный), значит, это наибольшее значение. Ответ: 20 м.

ВыводВершина параболы

Для

y = a x^{2} + b x + c

середина между корнями равна

x_{в} = - \frac{b}{2 a}

. При

a < 0

в вершине наибольшее значение, при

a > 0

— наименьшее. Если корней нет, формула верна всё равно.

ЛовушкаВершина вне допустимых значений

Если вершина не входит в допустимый замкнутый отрезок, сравните значения на его концах. На открытом промежутке наибольшее или наименьшее значение может не достигаться. Если переменная целая, сравните допустимые целые значения рядом с вершиной и границы.

ПриёмРасстояние — через квадрат

Корень

d = \sqrt{\dots}

наименьший тогда же, когда наименьшее подкоренное выражение. Поэтому исследуем

d^{2}

: обычно это квадратичная функция.

4.1

Из всех прямоугольников с периметром

40

см найдите площадь наибольшего.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.1

Сверить ответ

Ответ: 100 см²

4.2

Участок у стены, забор

40

м (разбор блока 3). Найдите наибольшую площадь.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.2

Сверить ответ

Ответ: 200 м² (при x = 10)

4.3

Мяч брошен с высоты

2

м:

h (t) = 2 + 20 t - 5 t^{2}

. Найдите наибольшую высоту.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.3

Сверить ответ

Ответ: 22 м

4.4

Прибыль

Π (p) = (p - 10) (200 - 5 p)

(задача 3.5). При какой цене она наибольшая и чему равна?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.4

Сверить ответ

Ответ: p = 25 руб., 1125 руб.

4.5

Билеты (задача 3.8). Найдите наибольшую возможную выручку. Учтите, что $n$ — целое.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.5

Сверить ответ

Ответ: 156 000 руб. (n = 2 или n = 3)

4.6

Жёлоб из листа шириной

24

см (задача 3.6). При каком

x

площадь сечения наибольшая? Найдите её.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.6

Сверить ответ

Ответ: x = 6 см, 72 см²

4.7

У источника

E = 12

В и

r = 2

Ом. Мощность во внешней цепи можно записать через ток:

P = E I - I^{2} r

(полная мощность источника минус потери внутри него). Найдите наибольшую мощность и ток, при котором она достигается.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.7

Сверить ответ

Ответ: I = 3 А, P = 18 Вт

4.8

Прибыль завода

Π (x) = - x^{2} + 20 x - 36

(млн руб.), где

x

— выпуск в тыс. шт. Завод может выпустить не более

6

тыс. шт. Найдите наибольшую прибыль.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.8

Сверить ответ

Ответ: 48 млн руб. (при x = 6)

4.9

От перекрёстка на восток выезжает машина со скоростью

60

км/ч. В тот же момент другая машина находится в

100

км к северу от перекрёстка и едет к нему со скоростью

80

км/ч. Найдите наименьшее расстояние между машинами.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 4.9

Сверить ответ

Ответ: 60 км (через 0,8 ч)

Продолжить подготовкуТема 5. Исследование производной →

5

Блок 5

Производная — универсальный инструмент

Модели вида $\frac{a}{x} + b x$ , $\frac{x}{(x + a)^{2}}$ или с корнями параболой уже не являются. Для них нужна производная. Это главный инструмент задания 17.

ПравилоЧто нужно уметь дифференцировать

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$	${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$
$(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g) \cdot g^{'} (x)$

ПравилоАлгоритм поиска наибольшего / наименьшего

Записать функцию и промежуток (из смысла задачи).
Найти производную и разложить её на множители.
Решить $f^{'} (x) = 0$ ; оставить точки внутри промежутка.
Определить знаки $f^{'}$ слева и справа от точки или сравнить значения в точке и на концах.
Сделать вывод: « $x_{0}$ — точка максимума, единственная на промежутке, значит, наибольшее значение $f (x_{0})$ ».

РазборКоробка наибольшего объёма

Из квадратного листа

12 \times 12

по углам вырезают квадраты со стороной

x

и сгибают коробку (задача 3.2). При каком

x

объём наибольший?

V (x) = x (12 - 2 x)^{2}

,

0 < x < 6

.

V^{'} (x) = (12 - 2 x)^{2} + x \cdot 2 (12 - 2 x) \cdot (- 2) = (12 - 2 x) (12 - 2 x - 4 x) = (12 - 2 x) (12 - 6 x) .

V^{'} = 0

при

x = 2

и

x = 6

; в промежуток

(0; 6)

попадает только

x = 2

.
На

(0; 2)

:

V^{'} > 0

, функция возрастает; на

(2; 6)

:

V^{'} < 0

, убывает. Значит,

x = 2

— точка максимума,

V (2) = 2 \cdot 8^{2} = 128

. Ответ:

x = 2

,

V = 128

.

ЛовушкаГде теряют балл

Нашли

f^{'} (x) = 0

и сразу написали ответ. Обращение производной в ноль ещё не означает максимум. Нужна фраза-обоснование: знаки производной или сравнение значений. Без неё полный балл не ставят.

В задачах 5.1–5.8 найдите точку и значение требуемого экстремума с обоснованием.

5.1

Наименьшее значение

f (x) = x^{3} - 12 x

на

[0; 3]

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 5.1

Сверить ответ

Ответ: −16 (при x = 2)

5.2

Наименьшее значение

f (x) = x^{2} + \frac{54}{x}

при

x > 0

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 5.2

Сверить ответ

Ответ: 27 (при x = 3)

5.3

Наименьшее значение

f (v) = 600 v + \frac{540 000}{v}

при

v > 0

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 5.3

Сверить ответ

Ответ: 36 000 (при v = 30)

5.4

Наибольшее значение

f (x) = \frac{64 x}{(x + 4)^{2}}

при

x > 0

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 5.4

Сверить ответ

Ответ: 4 (при x = 4)

5.5

Наименьшее значение

f (x) = 2 x + \frac{50}{x}

при

x > 0

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 5.5

Сверить ответ

Ответ: 20 (при x = 5)

5.6

Наименьшее значение

g (u) = (16 - u)^{2} + 8 u

. пригодится для резонанса

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 5.6

Сверить ответ

Ответ: 112 (при u = 12)

5.7

Наименьшее значение

f (x) = 5 \sqrt{x^{2} + 9} - 4 x

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 5.7

Сверить ответ

Ответ: 9 (при x = 4)

5.8

Наибольшее значение

V (x) = x (24 - 2 x)^{2}

при

0 < x < 12

.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 5.8

Сверить ответ

Ответ: 1024 (при x = 4)

Продолжить подготовкуТема 6. Шесть прикладных сюжетов →

6

Блок 6

Главные сюжеты задания 17

Шесть типовых сюжетов. В каждом есть разбор с полным решением, вывод, который полезно помнить, и задачи для самостоятельной работы. Первые два сюжета соответствуют задачам проекта демоверсии.

6.1 Генератор и нагрузка: наибольшая тепловая мощность

РазборМощность на нагрузке

Источник с ЭДС

E = 12

В и внутренним сопротивлением

r = 3

Ом замкнут на нагрузку сопротивлением

R

. При каком

R

тепловая мощность на нагрузке наибольшая? Найдите её.

Модель. По закону Ома для полной цепи

I = \frac{12}{R + 3}

. По закону Джоуля–Ленца

P = I^{2} R = \frac{144 R}{(R + 3)^{2}}

, где

R > 0

.
Исследование.

P^{'} (R) = 144 \cdot \frac{(R + 3)^{2} - R \cdot 2 (R + 3)}{(R + 3)^{4}} = 144 \cdot \frac{(R + 3) - 2 R}{(R + 3)^{3}} = \frac{144 (3 - R)}{(R + 3)^{3}} .

P^{'} > 0

при

0 < R < 3

и

P^{'} < 0

при

R > 3

. Значит,

R = 3

— точка максимума, единственная на

(0; + \infty)

, и в ней достигается наибольшее значение.

P (3) = \frac{144 \cdot 3}{36} = 12

Вт. Ответ:

R = 3

Ом,

P = 12

Вт.

ВыводСогласование нагрузки

Повторив вычисление в общем виде, получим: мощность во внешней цепи наибольшая при

R = r

и равна

P_{\max} = \frac{E^{2}}{4 r}

. Ток в этом режиме

I = \frac{E}{2 r}

, а КПД источника 50%.
Ещё два способа без производной. 1) Через ток:

P = E I - I^{2} r

— парабола (задача 4.7). 2) Через неравенство о средних:

P = \frac{E^{2}}{R + 2 r + r^{2} / R}

, а

R + \frac{r^{2}}{R} \geq 2 r

.

ЛовушкаДве ловушки

1) «Внутренним» считается всё, что включено последовательно с нагрузкой: провода, добавочный резистор. 2) Если

R

ограничено промежутком, в который

r

не попадает, максимум достигается на конце промежутка. Мощность, выделяемая внутри источника,

I^{2} r

, растёт при уменьшении

R

, и внутренней точки максимума у неё нет.

6.1.1

Генератор имеет ЭДС

200

В и внутреннее сопротивление

0, 5

Ом. Какую наибольшую мощность он может отдать во внешнюю цепь? Ответ в кВт.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.1.1

Сверить ответ

Ответ: 20 кВт

6.1.2

E = 30

В,

r = 1

Ом. Последовательно с переменным резистором

R

включён постоянный резистор

2

Ом. При каком

R

мощность на переменном резисторе наибольшая? Найдите её.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.1.2

Сверить ответ

Ответ: R = 3 Ом, 75 Вт

6.1.3

E = 12

В,

r = 2

Ом, сопротивление нагрузки можно менять от

1

до

10

Ом. При каком

R

тепловая мощность, выделяющаяся внутри источника, наибольшая? Найдите её.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.1.3

Сверить ответ

Ответ: R = 1 Ом, 32 Вт

6.1.4

E = 24

В,

r = 2

Ом, нагрузку можно менять от

4

до

10

Ом. Найдите наибольшую мощность на нагрузке.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.1.4

Сверить ответ

Ответ: 64 Вт (при R = 4 Ом)

6.1.5

Наибольшая мощность во внешней цепи равна

50

Вт и достигается при токе

5

А. Найдите ЭДС источника.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.1.5

Сверить ответ

Ответ: 20 В

6.2 Корабль на волнах: резонанс

Волны раскачивают корабль с периодом $T$ (период волн). У самого корабля есть собственный период качки $T_{0}$ . Чем ближе $T$ к «опасному» значению, тем сильнее качка. В задаче даётся формула амплитуды, например $A (T) = \frac{A_{0}}{\sqrt{{(1 - \frac{T_{0}^{2}}{T^{2}})}^{2} + \frac{k}{T^{2}}}},$ где $k$ учитывает сопротивление воды.

ПриёмДве идеи, которые решают задачу

1) Дробь с постоянным положительным числителем наибольшая, когда знаменатель наименьший. Корень наименьший, когда наименьшее подкоренное выражение. 2) Замена

u = \frac{1}{T^{2}}

превращает подкоренное выражение в квадратный трёхчлен относительно

u

.

РазборПериод волн при наибольшей качке

T_{0} = 4

с,

k = 24

. При каком периоде волн амплитуда качки наибольшая?

Подкоренное выражение:

g = {(1 - \frac{16}{T^{2}})}^{2} + \frac{24}{T^{2}}

. Пусть

u = \frac{1}{T^{2}} > 0

:

g (u) = (1 - 16 u)^{2} + 24 u = 256 u^{2} - 8 u + 1.

Это парабола с ветвями вверх, её вершина

u = \frac{8}{2 \cdot 256} = \frac{1}{64} > 0

, в ней

g

наименьшее. Тогда

A

наибольшая.

\frac{1}{T^{2}} = \frac{1}{64} \Rightarrow T = 8

с (берём

T > 0

). Ответ: 8 с.

ВыводРезонансный период

В общем виде

u^{*} = \frac{2 T_{0}^{2} - k}{2 T_{0}^{4}}

. При слабом сопротивлении (

k

мало) резонансный период близок к собственному

T_{0}

. В разборе сопротивление велико (

k = 24

), поэтому пик пологий и сдвинут от

T_{0} = 4

с к 8 с. При

k \geq 2 T_{0}^{2}

максимума нет: качка монотонно меняется с периодом. Если формула дана через циклическую частоту

ω

, делаем замену

u = ω^{2}

, а в конце находим

T = \frac{2 π}{ω}

.

6.2.1

T_{0} = 3

с,

k = 10

(формула та же). При каком периоде волн амплитуда качки наибольшая?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.2.1

Сверить ответ

Ответ: 4,5 с

6.2.2

Амплитуда качки

A (ω) = \frac{60}{\sqrt{(20 - ω^{2})^{2} + 8 ω^{2}}}

(см),

ω

— циклическая частота волн, рад/с. Найдите

ω

, при которой амплитуда наибольшая, саму амплитуду и период волн.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.2.2

Сверить ответ

Ответ: ω = 4 рад/с, A = 5 см, T = π/2 ≈ 1,57 с

6.2.3

T_{0} = 2

с,

k = 6

. При каком периоде волн амплитуда качки наибольшая?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.2.3

Сверить ответ

Ответ: 4 с

6.3 Движение: наименьшее время, наибольшая высота и дальность

РазборСпасатель

Спасатель стоит на берегу в точке

A

. Тонущий находится в точке

S

, в

30

м от берега; ближайшая к нему точка берега

B

отстоит от

A

на

60

м. По песку спасатель бежит со скоростью

5

м/с, плывёт со скоростью

3

м/с. В какой точке

M

ему войти в воду, чтобы добраться быстрее всего, и за какое время он доберётся?

Пусть

B M = x

,

0 \leq x \leq 60

. Время:

t (x) = \frac{60 - x}{5} + \frac{\sqrt{x^{2} + 900}}{3}

.

t^{'} (x) = - \frac{1}{5} + \frac{x}{3 \sqrt{x^{2} + 900}} = 0 ⟺ 5 x = 3 \sqrt{x^{2} + 900} ⟺ 25 x^{2} = 9 x^{2} + 8100 ⟺ x = 22, 5.

t^{'} < 0

при

x < 22, 5

и

t^{'} > 0

при

x > 22, 5

, значит, это точка минимума.

\sqrt{22, 5^{2} + 900} = 37, 5

,

t = \frac{37, 5}{5} + \frac{37, 5}{3} = 7, 5 + 12, 5 = 20

с.
Ответ: войти в воду в

22, 5

м от

B

;

20

с.

ВыводЗакон «преломления»

В точке оптимума

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + d^{2}}} = \frac{v_{вода}}{v_{песок}}

: синус угла между путём в воде и перпендикуляром к берегу равен отношению скоростей. Свет на границе сред выбирает путь по тому же правилу.

6.3.1

Деревня находится в

8

км от прямой дороги, станция стоит на дороге в

20

км от ближайшей к деревне точки дороги. По полю можно идти со скоростью

3

км/ч, по дороге

5

км/ч. В какой точке нужно выйти на дорогу и за какое наименьшее время (в минутах) можно дойти до станции?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.3.1

Сверить ответ

Ответ: в 6 км от ближайшей точки; 368 мин

6.3.2

Мяч бросают с земли со скоростью

20

м/с под углом

α

к горизонту, дальность

L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 α}{g}

,

g = 10

. При каком

α

дальность наибольшая? Чему она равна?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.3.2

Сверить ответ

Ответ: α = 45°, 40 м

6.3.3

Мяч бросают вверх с балкона:

h (t) = 15 + 10 t - 5 t^{2}

(м). Найдите наибольшую высоту мяча и время до падения на землю.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.3.3

Сверить ответ

Ответ: 20 м; 3 с

6.3.4

Собирающая линза,

F = 15

см. Предмет ставят на расстоянии

d > F

, изображение действительное. Найдите наименьшее расстояние между предметом и его изображением.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.3.4

Сверить ответ

Ответ: 60 см (при d = 30 см)

6.4 Экономика и производство

РазборОбъём выпуска с наибольшей прибылью

Завод выпускает

x

тыс. изделий в месяц (

0 \leq x \leq 20

) и продаёт их по

90

тыс. руб. за тысячу штук. Издержки

C (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 18 x + 100

тыс. руб. При каком выпуске прибыль наибольшая?

Π (x) = 90 x - C (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 72 x - 100.

Π^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 72 = - 3 (x^{2} - 2 x - 24) = - 3 (x - 6) (x + 4) .

На

[0; 20]

:

Π^{'} > 0

при

x < 6

и

Π^{'} < 0

при

x > 6

, значит,

x = 6

— точка максимума.

Π (6) = - 216 + 108 + 432 - 100 = 224

тыс. руб. Ответ: 6 тыс. изделий, прибыль 224 тыс. руб.

6.4.1

При налоге

t

руб. с изделия продают

400 - 8 t

тыс. изделий. При какой ставке налоговый сбор наибольший? Найдите сбор (тыс. руб.).

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.4.1

Сверить ответ

Ответ: t = 25 руб., 5000 тыс. руб.

6.4.2

Расходы теплохода на топливо за час составляют

0, 5 v^{3}

руб. (

v

— скорость, км/ч), прочие расходы —

8000

руб./ч. При какой скорости затраты на 1 км пути наименьшие?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.4.2

Сверить ответ

Ответ: 20 км/ч (600 руб./км)

6.4.3

Грузовик из задачи 3.4, скорость не выше

90

км/ч. При какой скорости поездка обойдётся дешевле всего и во сколько?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.4.3

Сверить ответ

Ответ: 60 км/ч, 18 000 руб.

6.5 Геометрия конструкций

РазборБак с наименьшим расходом металла

Бак без крышки с квадратным дном должен иметь объём

32

дм³. При какой стороне дна на него уйдёт меньше всего металла?

Сторона дна

a

, высота

h = \frac{32}{a^{2}}

. Площадь:

S (a) = a^{2} + 4 a h = a^{2} + \frac{128}{a}

,

a > 0

.

S^{'} (a) = 2 a - \frac{128}{a^{2}} = \frac{2 (a^{3} - 64)}{a^{2}} = 0 ⟺ a = 4

.

S^{'} < 0

при

a < 4

и

S^{'} > 0

при

a > 4

, значит, это минимум.

h = 2

,

S (4) = 16 + 32 = 48

дм². Ответ:

4

дм (высота

2

дм).

6.5.1

Из прямоугольного листа

16 \times 10

см по углам вырезают квадраты со стороной

x

и сгибают коробку. Найдите наибольший объём.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.5.1

Сверить ответ

Ответ: 144 см³ (при x = 2)

6.5.2

Цилиндрическая банка с крышкой и дном имеет объём

54 π

см³. При каком радиусе на неё уйдёт меньше всего жести? Какова при этом высота?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.5.2

Сверить ответ

Ответ: r = 3 см, h = 6 см

6.5.3

Прямоугольник вписан в фигуру под параболой

y = 12 - x^{2}

(над осью

O x

), одна сторона лежит на оси. Найдите наибольшую площадь.

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.5.3

Сверить ответ

Ответ: 32 (при x = 2)

6.6 Модели-уравнения, неравенства и системы

РазборМяч должен подняться выше 20 м

Мяч подбрасывают вертикально вверх, наибольшая высота подъёма

H = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}

,

g = 10

м/с². При каких начальных скоростях мяч поднимется не ниже

20

м?

\frac{v_{0}^{2}}{20} \geq 20 ⟺ v_{0}^{2} \geq 400 ⟺ v_{0} \geq 20

(скорость положительна). Ответ:

v_{0} \geq 20

м/с.

6.6.1

Тариф А:

300

руб. в сутки +

10

руб./км. Тариф Б:

900

руб. в сутки, первые

50

км бесплатно, далее

6

руб./км. При каком суточном пробеге тариф Б выгоднее?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.6.1

Сверить ответ

Ответ: больше 75 км

6.6.2

E = 10

В,

r = 1

Ом. При каких

R

мощность на нагрузке не меньше

16

Вт? (Сравните с задачей 2.5.)

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.6.2

Сверить ответ

Ответ: 0,25 ≤ R ≤ 4 Ом

6.6.3

Массы двух изотопов:

m_{1} = 64 \cdot 2^{- t / 2}

мг и

m_{2} = 4 \cdot 2^{- t / 6}

мг (

t

— сутки). Через сколько суток массы сравняются?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.6.3

Сверить ответ

Ответ: 12 суток

6.6.4

Есть сплавы с содержанием меди

10 %

и

40 %

. Сколько килограммов первого сплава нужно взять, чтобы получить

30

кг сплава с

20 %

меди?

Моё решение / заметки

Черновик к задаче 6.6.4

Сверить ответ

Ответ: 20 кг

Продолжить подготовкуТема 7. 12 итоговых задач →

7

Блок 7

Итоговая практика: полное решение

12 авторских задач для тренировки полного решения. В каждой паре можно начать с одной задачи, затем решить вторую. Это порядок работы с тетрадью, а не обещание выбора сюжета на экзамене.

РазборОбразец оформления

Генератор с ЭДС

120

В и внутренним сопротивлением

4

Ом питает нагревательный элемент. Каким должно быть сопротивление элемента, чтобы тепловая мощность нагревателя была наибольшей? Найдите эту мощность.

Решение. Пусть

R

Ом — сопротивление нагревателя,

R > 0

. По закону Ома для полной цепи сила тока

I = \frac{120}{R + 4}

. По закону Джоуля–Ленца тепловая мощность нагревателя

P (R) = I^{2} R = \frac{14 400 R}{(R + 4)^{2}} .

Найдём наибольшее значение

P (R)

на промежутке

(0; + \infty)

:

P^{'} (R) = 14 400 \cdot \frac{(R + 4)^{2} - 2 R (R + 4)}{(R + 4)^{4}} = \frac{14 400 (4 - R)}{(R + 4)^{3}} .

P^{'} (R) > 0

при

0 < R < 4

и

P^{'} (R) < 0

при

R > 4

, значит,

R = 4

— точка максимума функции. Других точек экстремума на промежутке нет, поэтому в ней достигается наибольшее значение:

P (4) = \frac{14 400 \cdot 4}{64} = 900

Вт.
Ответ: 4 Ом; 900 Вт.

ПравилоЧек-лист «на 2 балла»

☐ обозначены переменная, единицы и ограничения; ☐ составлена математическая модель; ☐ приведено исследование: производная, свойства параболы или другой обоснованный метод; ☐ объяснено, почему найден нужный максимум или минимум; ☐ ответ дан на вопрос задачи в нужных единицах.

ВажноОценивание: по проекту ФИПИ

2 балла предполагают верный ответ с обоснованием. 1 балл в опубликованном проекте предусмотрен за вычислительную ошибку при правильной последовательности всех шагов решения. Само отсутствие обоснования не гарантирует 1 балл. Это ориентир по проекту, а не автоматическая оценка ваших работ. Проверяйте актуальные критерии ФИПИ.

ИтогЯ умею…

подставлять числа в физическую формулу и проверять единицы
составлять уравнение или неравенство по формуле и отбирать корни по смыслу
выражать величину через одну переменную и записывать ограничения
находить наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции, в том числе на промежутке и в целых числах
исследовать функцию производной и обосновывать максимум или минимум
решать задачу о наибольшей мощности генератора и задачу о резонансе
оформлять полное решение по чек-листу на 2 балла

Закон Ома для участка цепи	$I = \frac{U}{R}$
Закон Ома для полной цепи ( $E$ — ЭДС, $r$ — внутреннее сопротивление)	$I = \frac{E}{R + r}$
Закон Джоуля–Ленца: теплота и мощность на резисторе	$Q = I^{2} R t, P = I^{2} R = \frac{U^{2}}{R}$
Последовательное / параллельное соединение	$R_{1} + R_{2} / \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$
Бросок вверх ( $g \approx 10$ м/с²)	$h = h_{0} + v_{0} t - \frac{g t^{2}}{2}$
Период и частота колебаний	$ω = \frac{2 π}{T}, ν = \frac{1}{T}$
Тонкая линза	$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Задание 17 ЕГЭ-2027.
Из условия —
в понятную модель.

Один разбор.
Одна попытка.
Один понятный шаг.

Формула — это машина: подставляем и вычисляем

Из формулы — уравнение или неравенство

Текст → функция одной переменной

Наибольшее и наименьшее без производной: парабола

Производная — универсальный инструмент

Главные сюжеты задания 17

6.1 Генератор и нагрузка: наибольшая тепловая мощность

6.2 Корабль на волнах: резонанс

6.3 Движение: наименьшее время, наибольшая высота и дальность

6.4 Экономика и производство

6.5 Геометрия конструкций

6.6 Модели-уравнения, неравенства и системы

Итоговая практика: полное решение

Та же тетрадь — на бумаге.

Задание 17 · рабочая тетрадь

Закрепить навык в целом варианте

Сбросить вашу работу?

Задание 17 ЕГЭ-2027.Из условия —в понятную модель.

Один разбор.Одна попытка.Один понятный шаг.

Формула — это машина: подставляем и вычисляем

Из формулы — уравнение или неравенство

Текст → функция одной переменной

Наибольшее и наименьшее без производной: парабола

Производная — универсальный инструмент

Главные сюжеты задания 17

6.1 Генератор и нагрузка: наибольшая тепловая мощность

6.2 Корабль на волнах: резонанс

6.3 Движение: наименьшее время, наибольшая высота и дальность

6.4 Экономика и производство

6.5 Геометрия конструкций

6.6 Модели-уравнения, неравенства и системы

Итоговая практика: полное решение

Та же тетрадь — на бумаге.

Задание 17 · рабочая тетрадь

Закрепить навык в целом варианте

Задание 17 ЕГЭ-2027.
Из условия —
в понятную модель.

Один разбор.
Одна попытка.
Один понятный шаг.